Номер 3.99, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.99. Найдите площадь полной поверхности куба, вписанного в сферу радиусом 1.

Пусть $a$ — длина ребра куба, а $R$ — радиус описанной около него сферы. Диагональ куба $d$ и его ребро $a$ связаны соотношением, которое можно получить по теореме Пифагора: $d = a\sqrt{3}$.

Когда куб вписан в сферу, все его вершины лежат на поверхности сферы. Это означает, что главная диагональ куба является диаметром описанной сферы. Диаметр сферы $D$ равен двум ее радиусам, то есть $D = 2R$.

Из условия задачи известно, что радиус сферы $R = 1$. Следовательно, ее диаметр $D = 2 \cdot 1 = 2$.

Приравниваем длину диагонали куба к диаметру сферы:

$d = D$

$a\sqrt{3} = 2$

Из этого уравнения находим длину ребра куба $a$:

$a = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Площадь полной поверхности куба $S_{полн}$ состоит из площадей шести его граней. Каждая грань является квадратом со стороной $a$. Площадь одной грани равна $a^2$.

Таким образом, площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле:

$S_{полн} = 6a^2$

Подставим найденное значение $a$ в эту формулу:

$S_{полн} = 6 \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = 6 \cdot \frac{2^2}{(\sqrt{3})^2} = 6 \cdot \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8$.

Ответ: 8.