Номер 3.105, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.105. Вершины прямоугольника расположены на сфере, радиус которой равен 5. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если диагональ прямоугольника равна 16.

Пусть $R$ — это радиус сферы, $d$ — диагональ прямоугольника, а $h$ — искомое расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника.

Согласно условию задачи, нам дано:

Радиус сферы $R = 5$.

Диагональ прямоугольника $d = 16$.

Все вершины прямоугольника лежат на сфере. Это означает, что прямоугольник вписан в окружность, которая является сечением сферы плоскостью, содержащей этот прямоугольник. Центр этой окружности — это точка пересечения диагоналей прямоугольника, а ее радиус $r$ равен половине диагонали.

Найдем радиус $r$ этой окружности:

$r = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются искомое расстояние $h$ и радиус сечения $r$, а гипотенузой — радиус сферы $R$. Этот треугольник образуется центром сферы, центром окружности сечения и любой из вершин прямоугольника.

По теореме Пифагора, связь между этими величинами выражается формулой:

$R^2 = h^2 + r^2$

Выразим из этой формулы квадрат искомого расстояния $h$:

$h^2 = R^2 - r^2$

Подставим числовые значения $R$ и $r$:

$h^2 = 5^2 - 8^2 = 25 - 64 = -39$

Полученное значение квадрата расстояния является отрицательным числом. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Это указывает на то, что заданная в условии конфигурация геометрически невозможна. Прямоугольник с диагональю 16 не может быть вписан в сферу радиусом 5, так как половина его диагонали (8) больше радиуса сферы (5).

Ответ: Условия задачи содержат противоречие. Решения не существует.