Номер 3.111, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.111. Радиус сферы равен $\sqrt{2}$. Найдите площадь полной поверхности куба:

1) вписанного в сферу;

2) описанного около сферы.

1) вписанного в сферу

Пусть $R$ — радиус сферы, а $a$ — длина ребра куба. По условию, радиус сферы равен $R = \sqrt{2}$.

Когда куб вписан в сферу, его вершины лежат на поверхности сферы. Это означает, что большая диагональ куба $d$ равна диаметру сферы $D$.

Диаметр сферы вычисляется как $D = 2R$.

$D = 2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Формула для большой диагонали куба через его ребро $a$: $d = a\sqrt{3}$.

Поскольку $d = D$, мы можем приравнять выражения:

$a\sqrt{3} = 2\sqrt{2}$.

Отсюда найдем длину ребра куба $a$:

$a = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Площадь полной поверхности куба $S$ состоит из площадей шести его граней и вычисляется по формуле $S = 6a^2$.

Подставим найденное значение $a$ в формулу площади:

$S = 6 \cdot \left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = 6 \cdot \frac{4 \cdot 2}{3} = 6 \cdot \frac{8}{3} = 2 \cdot 8 = 16$.

Ответ: 16

2) описанного около сферы

Пусть $R$ — радиус сферы, а $a$ — длина ребра куба. По условию, $R = \sqrt{2}$.

Когда куб описан около сферы, сфера касается центров всех шести граней куба. В этом случае длина ребра куба $a$ равна диаметру сферы $D$.

Диаметр сферы равен $D = 2R = 2\sqrt{2}$.

Следовательно, ребро куба $a = 2\sqrt{2}$.

Площадь полной поверхности куба $S$ вычисляется по формуле $S = 6a^2$.

Подставим найденное значение $a$:

$S = 6 \cdot (2\sqrt{2})^2 = 6 \cdot (4 \cdot 2) = 6 \cdot 8 = 48$.

Ответ: 48