Номер 3.115, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.115. Данное тело ограничено двумя концентрическими сферами (полый шар). Докажите, что площадь диаметрального сечения этого тела равна площади сечения, касающегося меньшей сферы.

Пусть $R$ — радиус большей сферы, а $r$ — радиус меньшей сферы ($R > r$). Поскольку сферы концентрические, у них общий центр, который мы обозначим как $O$.

Сначала найдем площадь диаметрального сечения данного тела. Тело представляет собой полый шар, то есть область между двумя сферами. Диаметральное сечение — это сечение плоскостью, проходящей через общий центр $O$. Такое сечение представляет собой кольцо. Внешний радиус этого кольца равен радиусу большой сферы $R$, а внутренний радиус — радиусу малой сферы $r$. Площадь этого кольца, обозначим её $S_1$, равна разности площадей большого круга (с радиусом $R$) и малого круга (с радиусом $r$).

$S_1 = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$

Теперь найдем площадь сечения, касающегося меньшей сферы. По условию, это сечение (подразумевается сечение большого шара) плоскостью, которая касается меньшей сферы. Обозначим эту секущую плоскость как $\alpha$. Поскольку плоскость $\alpha$ касается меньшей сферы, расстояние от центра $O$ до этой плоскости равно радиусу меньшей сферы, то есть $r$. Сечением большой сферы плоскостью $\alpha$ является круг. Найдем радиус этого круга, обозначив его $r_c$.

Для нахождения $r_c$ рассмотрим прямоугольный треугольник. Его гипотенуза — это радиус большой сферы $R$ (отрезок, соединяющий центр $O$ с любой точкой на окружности сечения), один катет — это перпендикуляр, опущенный из центра $O$ на плоскость $\alpha$, его длина равна $r$. Второй катет — это искомый радиус сечения $r_c$.

Согласно теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + r_c^2$

Отсюда находим квадрат радиуса сечения:

$r_c^2 = R^2 - r^2$

Площадь этого сечения, обозначим её $S_2$, равна:

$S_2 = \pi r_c^2 = \pi(R^2 - r^2)$

Сравнивая полученные выражения для площадей $S_1$ и $S_2$, мы видим, что они равны:

$S_1 = S_2 = \pi(R^2 - r^2)$

Таким образом, доказано, что площадь диаметрального сечения тела равна площади сечения, касающегося меньшей сферы.

Ответ: Утверждение доказано.