Номер 3.112, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.112. Радиус сферы равен $\text{R}$. Найдите ребро тетраэдра:

1) вписанного в сферу;

2) описанного около сферы.

Поскольку в условии не указан тип тетраэдра, будем считать его правильным, так как только для правильного тетраэдра можно однозначно найти ребро, зная радиус вписанной или описанной сферы. Пусть $a$ — длина ребра правильного тетраэдра, $h$ — его высота.

Центр вписанной и описанной сфер у правильного тетраэдра совпадает. Этот центр находится на высоте тетраэдра и делит ее в отношении $3:1$, считая от вершины.

Высоту правильного тетраэдра можно выразить через его ребро по формуле: $h = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Если тетраэдр вписан в сферу, то сфера является описанной. Ее радиус, обозначенный в условии как $R$, равен расстоянию от центра тетраэдра до любой из его вершин. Это расстояние составляет большую часть высоты.

Таким образом, радиус описанной сферы $R_{опис}$ связан с высотой $h$ соотношением: $R = R_{опис} = \frac{3}{4}h$.

Подставим в это соотношение выражение для высоты $h$ через ребро $a$: $R = \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Из этого уравнения выразим ребро $a$: $a = \frac{4R}{\sqrt{6}} = \frac{4R\sqrt{6}}{(\sqrt{6})^2} = \frac{4R\sqrt{6}}{6} = \frac{2R\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $a = \frac{2R\sqrt{6}}{3}$.

Если тетраэдр описан около сферы, то сфера является вписанной. Ее радиус, обозначенный в условии как $R$, равен расстоянию от центра тетраэдра до центра любой из его граней. Это расстояние составляет меньшую часть высоты.

Таким образом, радиус вписанной сферы $R_{впис}$ связан с высотой $h$ соотношением: $R = R_{впис} = \frac{1}{4}h$.

Подставим в это соотношение выражение для высоты $h$ через ребро $a$: $R = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{a\sqrt{6}}{12}$.

Из этого уравнения выразим ребро $a$: $a = \frac{12R}{\sqrt{6}} = \frac{12R\sqrt{6}}{(\sqrt{6})^2} = \frac{12R\sqrt{6}}{6} = 2R\sqrt{6}$.

Ответ: $a = 2R\sqrt{6}$.