Номер 3.110, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.110. Все стороны ромба с диагоналями, равными 15 см и 20 см, касаются сферы радиусом 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

Пусть $O$ — центр сферы, $R = 10$ см — ее радиус. Искомое расстояние от центра сферы до плоскости ромба — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на эту плоскость. Обозначим это расстояние как $h$. Пусть $O'$ — основание этого перпендикуляра, лежащее в плоскости ромба. Таким образом, $h = OO'$.

По условию, все стороны ромба касаются сферы. Это означает, что расстояние от центра сферы $O$ до каждой из сторон ромба равно радиусу сферы $R$. Пусть $K$ — точка касания на какой-либо стороне ромба. Тогда отрезок $OK$ перпендикулярен этой стороне, и его длина равна $OK = R = 10$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO'K$. Его гипотенуза — это $OK=R$, а катеты — это $OO'=h$ и $O'K$. По теореме Пифагора, мы имеем соотношение: $R^2 = h^2 + (O'K)^2$.

Так как точка $O$ равноудалена от всех сторон ромба, то ее проекция $O'$ на плоскость ромба также будет равноудалена от всех сторон ромба. Точка, равноудаленная от всех сторон многоугольника, является центром вписанной в него окружности. Следовательно, $O'$ — это центр окружности, вписанной в ромб, а отрезок $O'K$ — это ее радиус $r$. Центр вписанной в ромб окружности находится в точке пересечения его диагоналей.

Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса $r$ вписанной в ромб окружности, а затем к нахождению $h$ из уравнения $h^2 = R^2 - r^2$.

Найдем радиус $r$. Диагонали ромба равны $d_1 = 15$ см и $d_2 = 20$ см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Найдем сторону ромба $a$ по теореме Пифагора, используя половинки диагоналей ($d_1/2 = 7.5$ см и $d_2/2 = 10$ см) в качестве катетов прямоугольного треугольника:

$a = \sqrt{(7.5)^2 + (10)^2} = \sqrt{56.25 + 100} = \sqrt{156.25} = 12.5$ см.

Площадь ромба $S$ можно вычислить двумя способами. Через диагонали:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ см$^2$.

С другой стороны, площадь ромба равна произведению его стороны $a$ на высоту $h_{ромба}$. Высота ромба связана с радиусом вписанной окружности $r$ соотношением $h_{ромба} = 2r$. Тогда $S = a \cdot h_{ромба} = a \cdot 2r$.

Приравняем два выражения для площади и найдем $r$:

$a \cdot 2r = S \implies 12.5 \cdot 2r = 150 \implies 25r = 150 \implies r = \frac{150}{25} = 6$ см.

Теперь, зная радиус вписанной окружности $r=6$ см и радиус сферы $R=10$ см, найдем искомое расстояние $h$ из прямоугольного треугольника $\triangle OO'K$:

$h^2 = R^2 - r^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$.

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.