Номер 3.116, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.116. В полушар вписан конус, имеющий с ним общее основание. Через середину высоты конуса проведена секущая плоскость параллельно основанию. Докажите, что площадь сечения тела, заключенного между поверхностью полушара и боковой поверхностью конуса (кольца), равна половине площади основания (рис. 3.54).

Рис. 3.54

Введем обозначения. Пусть $R$ — радиус общего основания полушара и конуса. Так как конус вписан в полушар и имеет с ним общее основание, его вершина лежит на сферической поверхности полушара, а ось симметрии конуса совпадает с осью полушара. Это означает, что высота конуса $H$ равна радиусу полушара $R$.

Площадь основания $S_{осн}$, которое является кругом радиуса $R$, вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi R^2$

Согласно условию, секущая плоскость проходит через середину высоты конуса параллельно основанию. Таким образом, высота $h$, на которой находится сечение, равна: $h = \frac{H}{2} = \frac{R}{2}$

Сечение тела, о котором говорится в задаче, представляет собой кольцо. Его площадь $S_{кольца}$ равна разности площади круга, являющегося сечением полушара ($S_{шар}$), и площади круга, являющегося сечением конуса ($S_{кон}$): $S_{кольца} = S_{шар} - S_{кон}$

Найдем площади этих двух сечений.

1. Площадь сечения конуса. Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, является кругом, меньшим по размеру. Радиус этого сечения, обозначим его $r$, можно найти из подобия треугольников. В осевом сечении конус представляет собой равнобедренный треугольник с высотой $H=R$ и радиусом основания $R$. Секущая плоскость отсекает подобный треугольник. Отношение радиуса сечения $r$ к радиусу основания $R$ равно отношению их расстояний от вершины конуса: $\frac{r}{R} = \frac{H-h}{H} = \frac{R - R/2}{R} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$ Отсюда, радиус сечения конуса $r = \frac{R}{2}$. Площадь сечения конуса $S_{кон}$ равна: $S_{кон} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{4}$

2. Площадь сечения полушара. Сечение полушара плоскостью на расстоянии $h$ от основания также является кругом. Пусть его радиус равен $R_{сеч}$. Этот радиус, высота сечения $h$ и радиус полушара $R$ образуют прямоугольный треугольник, в котором радиус полушара $R$ является гипотенузой, а $h$ и $R_{сеч}$ — катетами. По теореме Пифагора: $R_{сеч}^2 + h^2 = R^2$ Подставим известное значение $h = R/2$: $R_{сеч}^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 = R^2$ $R_{сеч}^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$ Площадь сечения полушара $S_{шар}$ равна: $S_{шар} = \pi R_{сеч}^2 = \frac{3\pi R^2}{4}$

3. Площадь кольца. Теперь мы можем вычислить площадь кольца, вычитая из площади большего круга площадь меньшего: $S_{кольца} = S_{шар} - S_{кон} = \frac{3\pi R^2}{4} - \frac{\pi R^2}{4} = \frac{2\pi R^2}{4} = \frac{\pi R^2}{2}$

Сравним полученную площадь кольца с площадью основания: $S_{кольца} = \frac{\pi R^2}{2}$ $S_{осн} = \pi R^2$ Таким образом, мы видим, что $S_{кольца} = \frac{1}{2} S_{осн}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь кольца, полученного в сечении, равна $S_{кольца} = \frac{\pi R^2}{2}$. Это ровно половина площади основания $S_{осн} = \pi R^2$. Утверждение доказано.