Номер 3.109, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.109. Даны две равные сферы. Центр одной сферы расположен на поверхности другой сферы. Пересечение сфер образует окружность радиусом, равным $\text{r}$. Найдите радиус данных сфер.

Пусть $R$ — искомый радиус данных равных сфер. Обозначим центры этих сфер как $O_1$ и $O_2$.

По условию, центр одной сферы расположен на поверхности другой. Это означает, что расстояние между центрами сфер равно радиусу каждой из сфер. Таким образом, расстояние $|O_1O_2| = R$.

Пересечение двух сфер образует окружность. Возьмем любую точку $A$ на этой окружности. Так как точка $A$ принадлежит обеим сферам, она удалена от центра каждой сферы на расстояние, равное радиусу $R$. Следовательно, $|O_1A| = R$ и $|O_2A| = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AO_2$. Длины его сторон равны: $|O_1O_2| = R$, $|O_1A| = R$ и $|O_2A| = R$. Значит, треугольник $\triangle O_1AO_2$ является равносторонним со стороной $R$.

Окружность пересечения сфер лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $O_1O_2$. Пусть $C$ — центр этой окружности. Точка $C$ лежит на отрезке $O_1O_2$. Радиус этой окружности по условию равен $r$. Этот радиус является отрезком $AC$, то есть $|AC| = r$.

В равностороннем треугольнике $\triangle O_1AO_2$ отрезок $AC$ является высотой, опущенной из вершины $A$ на основание $O_1O_2$. В равностороннем треугольнике высота также является медианой, поэтому она делит основание пополам. Следовательно, точка $C$ является серединой отрезка $O_1O_2$, и $|O_1C| = \frac{|O_1O_2|}{2} = \frac{R}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1CA$. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $|O_1C|^2 + |AC|^2 = |O_1A|^2$

Подставим известные значения в это уравнение: $(\frac{R}{2})^2 + r^2 = R^2$

Решим это уравнение относительно $R$: $\frac{R^2}{4} + r^2 = R^2$ $r^2 = R^2 - \frac{R^2}{4}$ $r^2 = \frac{3R^2}{4}$

Выразим $R^2$: $R^2 = \frac{4r^2}{3}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $R$: $R = \sqrt{\frac{4r^2}{3}} = \frac{2r}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $R = \frac{2r \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}r$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}r$