Номер 3.107, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.107. Покажите, что данным уравнением определяется сфера и найдите ее центр и радиус, если:

1) $x^2+y^2+z^2-6z=0$

2) $x^2+y^2+z^2-4x+2y=0$

3) $x^2+y^2+z^2+10x+4y-8z+3=0$

Чтобы показать, что уравнение определяет сферу, его необходимо привести к каноническому виду $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ - координаты центра сферы, а $R$ - ее радиус. Для этого используется метод выделения полного квадрата.

1) Дано уравнение: $x^2+y^2+z^2-6z=0$.

Сгруппируем члены, содержащие $z$, и выделим полный квадрат: $z^2-6z = (z^2 - 2 \cdot z \cdot 3 + 3^2) - 3^2 = (z-3)^2 - 9$.

Подставим это выражение обратно в исходное уравнение: $x^2+y^2+(z-3)^2 - 9 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть: $x^2+y^2+(z-3)^2 = 9$.

Это уравнение можно записать в виде $(x-0)^2+(y-0)^2+(z-3)^2 = 3^2$. Данное уравнение является каноническим уравнением сферы, так как правая часть $R^2 = 9 > 0$. Отсюда следует, что центр сферы находится в точке $C(0, 0, 3)$, а радиус равен $R=3$.

Ответ: Центр сферы $C(0, 0, 3)$, радиус $R=3$.

2) Дано уравнение: $x^2+y^2+z^2-4x+2y=0$.

Сгруппируем члены, содержащие $x$ и $y$: $(x^2-4x) + (y^2+2y) + z^2 = 0$.

Выделим полные квадраты для $x$ и $y$: $x^2-4x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (x-2)^2 - 4$. $y^2+2y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (y+1)^2 - 1$.

Подставим эти выражения в сгруппированное уравнение: $((x-2)^2 - 4) + ((y+1)^2 - 1) + z^2 = 0$.

Раскроем скобки и перенесем свободные члены в правую часть: $(x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 - 4 - 1 = 0$. $(x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 = 5$.

Это каноническое уравнение сферы $(x-2)^2+(y-(-1))^2+(z-0)^2 = (\sqrt{5})^2$, так как $R^2 = 5 > 0$. Следовательно, центр сферы находится в точке $C(2, -1, 0)$, а радиус равен $R=\sqrt{5}$.

Ответ: Центр сферы $C(2, -1, 0)$, радиус $R=\sqrt{5}$.

3) Дано уравнение: $x^2+y^2+z^2+10x+4y-8z+3=0$.

Сгруппируем члены, содержащие $x$, $y$ и $z$: $(x^2+10x) + (y^2+4y) + (z^2-8z) + 3 = 0$.

Выделим полные квадраты для каждой переменной: $x^2+10x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 = (x+5)^2 - 25$. $y^2+4y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (y+2)^2 - 4$. $z^2-8z = (z^2 - 2 \cdot z \cdot 4 + 4^2) - 4^2 = (z-4)^2 - 16$.

Подставим полученные выражения в уравнение: $((x+5)^2 - 25) + ((y+2)^2 - 4) + ((z-4)^2 - 16) + 3 = 0$.

Раскроем скобки и соберем все числовые члены: $(x+5)^2 + (y+2)^2 + (z-4)^2 - 25 - 4 - 16 + 3 = 0$. $(x+5)^2 + (y+2)^2 + (z-4)^2 - 42 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть: $(x+5)^2 + (y+2)^2 + (z-4)^2 = 42$.

Это каноническое уравнение сферы $(x-(-5))^2+(y-(-2))^2+(z-4)^2 = (\sqrt{42})^2$, так как $R^2 = 42 > 0$. Центр сферы находится в точке $C(-5, -2, 4)$, а радиус равен $R=\sqrt{42}$.

Ответ: Центр сферы $C(-5, -2, 4)$, радиус $R=\sqrt{42}$.