Номер 3.113, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.113. Две сферы радиусами $R_1$ и $R_2$ имеют только одну общую точку. Чему может быть равно расстояние между их центрами?

Пусть $d$ — искомое расстояние между центрами двух сфер, а $R_1$ и $R_2$ — их радиусы. Условие, что две сферы имеют только одну общую точку, означает, что они касаются друг друга. Существует два возможных варианта их взаимного расположения.

1. Внешнее касание

Сферы находятся снаружи друг от друга и касаются в одной точке. В этом случае точка касания лежит на прямой, соединяющей центры сфер, и находится между ними. Расстояние между центрами будет равно сумме их радиусов.

$d = R_1 + R_2$

2. Внутреннее касание

Одна сфера находится внутри другой и касается ее в одной точке. Это возможно только в том случае, если радиусы сфер не равны (например, $R_1 > R_2$). В этом случае и центры сфер, и точка касания лежат на одной прямой. Расстояние между центрами будет равно разности радиусов большей и меньшей сфер.

$d = R_{больший} - R_{меньший}$

Чтобы записать это в общем виде, не оговаривая, какой из радиусов больше, используется модуль разности:

$d = |R_1 - R_2|$

Случай $R_1 = R_2$ при внутреннем касании невозможен, так как это означало бы, что сферы совпадают, и у них было бы бесконечно много общих точек, а не одна.

Таким образом, существуют два возможных значения для расстояния между центрами сфер.

Ответ: Расстояние между центрами может быть равно сумме радиусов $R_1 + R_2$ (в случае внешнего касания) или модулю разности радиусов $|R_1 - R_2|$ (в случае внутреннего касания).