Номер 3.108, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

3.108. Самолет летит на высоте 1 км от поверхности земли. Найдите наибольшее расстояние до точки на земной поверхности, которую можно увидеть с самолета, если радиус земного шара считается равным 6400 км.

Для решения этой задачи представим Землю в виде идеального шара. Пусть точка O — центр Земли, точка A — положение самолета, а точка B — наиболее удаленная точка на поверхности Земли, видимая с самолета.

По условию, радиус Земли R равен 6400 км, а высота полета самолета h равна 1 км. Точка B находится на линии горизонта, поэтому линия взгляда AB является касательной к поверхности Земли в точке B.

Радиус, проведенный в точку касания (OB), перпендикулярен касательной (AB). Следовательно, треугольник OBA является прямоугольным, где угол OBA равен 90°. В этом треугольнике катет OB — это радиус Земли ($OB = R = 6400$ км), катет AB — искомое расстояние (обозначим его d), а гипотенуза OA — это расстояние от центра Земли до самолета ($OA = R + h = 6400 + 1 = 6401$ км).

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника OBA: $OA^2 = OB^2 + AB^2$.

Выразим из этой формулы искомое расстояние d (длину катета AB): $d^2 = AB^2 = OA^2 - OB^2$.

Подставим числовые значения: $d^2 = (R + h)^2 - R^2 = (6400 + 1)^2 - 6400^2 = 6401^2 - 6400^2$.

Для удобства вычислений воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$d^2 = (6401 - 6400) \cdot (6401 + 6400) = 1 \cdot 12801 = 12801$.

Теперь найдем d, извлекая квадратный корень из полученного значения:

$d = \sqrt{12801} \approx 113.14$ км.

Таким образом, наибольшее расстояние до точки на земной поверхности, которую можно увидеть с самолета, составляет примерно 113,14 км.

Ответ: $\sqrt{12801}$ км, что приблизительно равно 113,14 км.