Номер 3.102, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.102. Сечение шара проходит через середину перпендикуляр-ного ему радиуса. Найдите отношение площади сечения к площади большего круга шара.

Пусть $R$ — радиус шара. Площадь большого круга шара, который представляет собой сечение, проходящее через его центр, вычисляется по формуле $S_{бк} = \pi R^2$.

Рассматриваемое в задаче сечение также является кругом. Пусть его радиус равен $r$, а площадь — $S_{сеч} = \pi r^2$.

По условию, плоскость этого сечения проходит через середину перпендикулярного ей радиуса. Это означает, что расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения равно половине радиуса шара: $d = \frac{R}{2}$.

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра шара до плоскости сечения $d$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $R$ является гипотенузой, а $r$ и $d$ — катетами. Согласно теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + d^2$

Подставим в это соотношение значение $d = \frac{R}{2}$ и выразим $r^2$: $R^2 = r^2 + (\frac{R}{2})^2$ $R^2 = r^2 + \frac{R^2}{4}$ $r^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$

Теперь мы можем найти площадь сечения: $S_{сеч} = \pi r^2 = \pi \frac{3R^2}{4}$

Найдем искомое отношение площади сечения к площади большего круга шара: $\frac{S_{сеч}}{S_{бк}} = \frac{\pi \frac{3R^2}{4}}{\pi R^2} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.