Номер 3.103, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.103. Через точку сферы проведены сечение и диаметр, образующие между собой угол $\phi$. Найдите длину окружности сечения, если радиус сферы равен $\text{R}$.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — точка на поверхности сферы, через которую проведены диаметр и сечение. Сечение сферы плоскостью является окружностью. Нам необходимо найти длину этой окружности.

Обозначим радиус окружности сечения через $r$. Длина этой окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi r$. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса $r$.

Пусть $\alpha$ — плоскость сечения. Центром окружности сечения является точка $O'$, которая представляет собой ортогональную проекцию центра сферы $O$ на плоскость $\alpha$. Точка $A$ лежит как на сфере, так и в плоскости сечения, следовательно, она принадлежит окружности сечения. Радиус этой окружности равен расстоянию от ее центра $O'$ до точки $A$ на ней, то есть $r = O'A$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAO'$. Поскольку $O'$ является проекцией точки $O$ на плоскость $\alpha$, отрезок $OO'$ перпендикулярен этой плоскости. Так как отрезок $O'A$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $O'$, он перпендикулярен отрезку $OO'$. Следовательно, треугольник $\triangle OAO'$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O'$.

Гипотенузой в этом прямоугольном треугольнике является отрезок $OA$. Так как $A$ — точка на сфере, а $O$ — её центр, то длина $OA$ равна радиусу сферы: $OA = R$. Катетами являются $OO'$ (расстояние от центра сферы до плоскости сечения) и $O'A = r$ (радиус сечения).

По условию, угол между диаметром, проходящим через точку $A$, и плоскостью сечения $\alpha$ равен $\phi$. Линия, содержащая этот диаметр, также содержит радиус $OA$. Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией отрезка $OA$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $O'A$. Таким образом, угол между прямой $OA$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle OAO'$ в нашем треугольнике. Значит, $\angle OAO' = \phi$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OAO'$ катет $O'A$ является прилежащим к углу $\phi$. Используя определение косинуса, получаем: $\cos(\phi) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{O'A}{OA}$ Подставляя известные нам значения $OA=R$ и $O'A=r$, имеем: $\cos(\phi) = \frac{r}{R}$

Из этого соотношения выражаем радиус окружности сечения $r$: $r = R \cos(\phi)$

Теперь, зная радиус, мы можем найти длину окружности сечения $L$: $L = 2\pi r = 2\pi R \cos(\phi)$

Ответ: $2\pi R \cos(\phi)$