Номер 3.100, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.100. Радиус основания конуса равен 1, а образующая 2. Найдите радиус сферы, вписанной в данный конус.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанной в него сферы. Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса $L$, а основание — диаметру основания $2R$. Сечение вписанной сферы является кругом, вписанным в этот треугольник. Радиус этого круга $r$ равен искомому радиусу сферы.

По условию задачи, радиус основания конуса $R = 1$, а образующая $L = 2$. Найдем высоту конуса $H$. Высота $H$, радиус основания $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник, для которого верна теорема Пифагора:

$H^2 + R^2 = L^2$

Подставим известные значения:

$H^2 + 1^2 = 2^2$

$H^2 = 4 - 1 = 3$

$H = \sqrt{3}$

Рассмотрим осевое сечение — равнобедренный треугольник $ABC$, где $A$ — вершина конуса, $BC$ — диаметр основания, а $AO$ — высота конуса. Центр вписанной сферы $I$ лежит на высоте $AO$. Расстояние от центра $I$ до основания равно радиусу сферы $r$, то есть $IO=r$. Расстояние от вершины $A$ до центра сферы $I$ равно $AI = AO - IO = H - r = \sqrt{3} - r$. Радиус, проведенный из центра $I$ к точке касания $D$ на образующей $AC$, перпендикулярен ей, то есть $ID \perp AC$ и $ID=r$.

Прямоугольные треугольники $\triangle ADI$ (с прямым углом $D$) и $\triangle AOC$ (с прямым углом $O$) подобны, так как имеют общий острый угол $\angle CAO$. Из подобия следует пропорциональность сторон:

$\frac{ID}{OC} = \frac{AI}{AC}$

Подставив известные величины ($ID=r$, $OC=R=1$, $AC=L=2$) и выражение для $AI$, получим уравнение:

$\frac{r}{1} = \frac{\sqrt{3} - r}{2}$

Решим это уравнение относительно $r$:

$2r = \sqrt{3} - r$

$3r = \sqrt{3}$

$r = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.