Номер 3.94, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

3.94. Город Нур-Султан находится на 51° северной широты. Радиус Земли равен 6400 км. Выясним, какой путь проходит г. Нур-Султан при вращении Земли вокруг своей оси за 3 ч (рис. 3.53). $\angle COB = 90^\circ - 51^\circ = 39^\circ \Rightarrow AC=$ $= BC = OB \cdot \sin39^\circ = 6400 \cdot \sin39^\circ \approx 4028 \text{ км.}$

За 3 ч город Нур-Султан проходит $\frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ дуги окружности, радиус которой равен 4028 км. Поэтому $S = 2\pi R \cdot \frac{1}{8} = 2 \cdot 3,14 \cdot 4028 \cdot \frac{1}{8} \approx$ $\approx 3162 \text{ км.}$

Ответ: 3162 км.

Рис. 3.53

Для того чтобы найти путь, который проходит город Нур-Султан при вращении Земли, необходимо сначала определить радиус окружности, по которой он движется. Эта окружность является параллелью, соответствующей 51° северной широты.

Представим Землю как идеальный шар с радиусом $R = 6400$ км. Пусть $\phi = 51^\circ$ — это широта города. Радиус $r$ параллели на широте $\phi$ связан с радиусом Земли $R$ следующей формулой:

$r = R \cdot \cos(\phi)$

Подставим значения:

$r = 6400 \cdot \cos(51^\circ)$

В приведенном на изображении решении используется эквивалентная формула через дополнительный угол. Угол от оси вращения до радиуса, проведенного к городу, равен $90^\circ - 51^\circ = 39^\circ$. Тогда радиус параллели можно найти как:

$r = R \cdot \sin(90^\circ - \phi) = 6400 \cdot \sin(39^\circ)$

Вычислим значение этого радиуса:

$r \approx 6400 \cdot 0.62932 \approx 4027.65 \text{ км}$

В примере из условия это значение округлено до $r \approx 4028 \text{ км}$. Будем использовать его для дальнейших расчетов.

Теперь определим длину пути. Земля совершает полный оборот (360°) за 24 часа. За 3 часа она повернется на долю, равную $\frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ от полного оборота. Соответственно, город Нур-Султан пройдет путь $S$, равный $\frac{1}{8}$ от длины своей параллели.

Длина окружности (параллели) $L$ вычисляется по формуле:

$L = 2\pi r$

Тогда путь $S$ за 3 часа составит:

$S = \frac{1}{8} \cdot L = \frac{1}{8} \cdot 2\pi r$

Подставим значения $r \approx 4028 \text{ км}$ и $\pi \approx 3.14$ (как в примере):

$S \approx \frac{1}{8} \cdot 2 \cdot 3.14 \cdot 4028 \text{ км} \approx 3162.28 \text{ км}$

Округляя до целого числа, получаем итоговый результат.

Ответ: 3162 км.