Номер 3.88, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.88. На рис. 3.51 дана развертка шара, длина экватора которого равна 16 см. Докажите, что площадь поверхности этого шара равна $\frac{256}{\pi}$ см².

Рис. 3.51

Для доказательства утверждения воспользуемся формулами, связывающими основные характеристики шара.

По условию задачи, длина экватора шара составляет $C = 16$ см. Экватор представляет собой большую окружность шара. Длина окружности связана с ее радиусом $R$ следующей формулой: $C = 2\pi R$.

Из этой формулы мы можем выразить и вычислить радиус шара $R$: $R = \frac{C}{2\pi} = \frac{16}{2\pi} = \frac{8}{\pi}$ см.

Далее, для нахождения площади поверхности шара $S$ используем стандартную формулу: $S = 4\pi R^2$.

Подставим в эту формулу найденное нами значение радиуса $R$: $S = 4\pi \left(\frac{8}{\pi}\right)^2$.

Проведем вычисления: $S = 4\pi \cdot \frac{8^2}{\pi^2} = 4\pi \cdot \frac{64}{\pi^2} = \frac{4 \cdot 64 \cdot \pi}{\pi^2}$.

После сокращения на $\pi$ в числителе и знаменателе получаем: $S = \frac{256}{\pi}$ см².

Полученный результат совпадает с величиной, которую требовалось доказать. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Площадь поверхности шара равна $4\pi R^2 = 4\pi \left(\frac{8}{\pi}\right)^2 = \frac{256}{\pi}$ см², что и требовалось доказать.