Номер 3.85, страница 120 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

3.85. На чертеже покажите различные варианты взаимного расположения сферы и плоскости. В каждом из указанных вами вариантах сравните расстояние от центра сферы до данной плоскости с радиусом сферы.

Рассмотрим сферу с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $\alpha$ - некоторая плоскость, а $d$ - расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha$ (то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha$). Взаимное расположение сферы и плоскости определяется соотношением между $d$ и $R$. Существует три различных варианта этого расположения.

1. Плоскость пересекает сферу

В этом случае множество общих точек сферы и плоскости является окружностью. Такое расположение возможно, когда расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы.

Сравнение: Расстояние от центра сферы до плоскости ($d$) меньше радиуса сферы ($R$).

Математически это выражается неравенством: $d < R$.

Сечением сферы плоскостью является окружность с радиусом $r$. Этот радиус можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного радиусом сферы $R$ (гипотенуза), расстоянием $d$ (катет) и радиусом сечения $r$ (второй катет): $r^2 + d^2 = R^2$, откуда $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.

Ответ: Расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы ($d < R$).

2. Плоскость касается сферы

В этом случае сфера и плоскость имеют ровно одну общую точку, называемую точкой касания. Такая плоскость называется касательной к сфере. Это происходит, когда расстояние от центра сферы до плоскости в точности равно радиусу сферы.

Сравнение: Расстояние от центра сферы до плоскости ($d$) равно радиусу сферы ($R$).

Математически это выражается равенством: $d = R$.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

Ответ: Расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы ($d = R$).

3. Плоскость не пересекает сферу

В этом случае у плоскости и сферы нет общих точек. Плоскость полностью находится вне сферы. Это происходит, когда расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы.

Сравнение: Расстояние от центра сферы до плоскости ($d$) больше радиуса сферы ($R$).

Математически это выражается неравенством: $d > R$.

Ответ: Расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы ($d > R$).