Номер 3.83, страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

3.83. Жестяное ведро имеет форму усеченного конуса, радиусы оснований которого равны $15 \text{ см}$ и $10 \text{ см}$, а образующая – $30 \text{ см}$. Каждое ведро закрашивается с двух сторон. Для закрашивания $1 \text{ м}^2$ необходимо $200 \text{ г}$ краски. Сколько килограммов краски нужно для покраски $1000$ ведер?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить следующие шаги: найти площадь поверхности одного ведра, которую нужно покрасить; рассчитать общую площадь для 1000 ведер; и, наконец, вычислить массу краски.

1. Нахождение площади поверхности одного ведра.

Ведро имеет форму усеченного конуса, и у него есть дно (большее основание), но нет верхней крышки (меньшего основания). Площадь поверхности, которую нужно покрасить с одной стороны, складывается из площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площади дна ($S_{осн}$).

Даны: радиус большего основания $R = 15$ см, радиус меньшего основания $r = 10$ см, образующая $l = 30$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (R + r) l$.

Подставим значения: $S_{бок} = \pi (15 + 10) \cdot 30 = \pi \cdot 25 \cdot 30 = 750\pi$ см$^2$.

Площадь дна ведра — это площадь круга с радиусом $R$: $S_{осн} = \pi R^2$.

Подставим значение $R$: $S_{осн} = \pi \cdot 15^2 = 225\pi$ см$^2$.

Площадь одной стороны ведра (внешней или внутренней) равна сумме площади боковой поверхности и площади дна: $S_{1} = S_{бок} + S_{осн} = 750\pi + 225\pi = 975\pi$ см$^2$.

Поскольку ведро закрашивается с двух сторон (снаружи и изнутри), общая площадь покраски одного ведра равна удвоенной площади $S_1$: $S_{ведро} = 2 \cdot S_{1} = 2 \cdot 975\pi = 1950\pi$ см$^2$.

2. Расчет общей площади и необходимой массы краски.

Расход краски дан в граммах на квадратный метр, поэтому переведем площадь поверхности одного ведра в м$^2$.

Зная, что $1$ м$^2 = 10000$ см$^2$, получаем: $S_{ведро} = \frac{1950\pi}{10000}$ м$^2 = 0.195\pi$ м$^2$.

Общая площадь покраски для 1000 ведер составляет: $S_{общ} = 1000 \cdot S_{ведро} = 1000 \cdot 0.195\pi = 195\pi$ м$^2$.

Расход краски — $200$ г на $1$ м$^2$. Найдем общую массу краски в граммах: $M_{г} = S_{общ} \cdot 200 = 195\pi \cdot 200 = 39000\pi$ г.

Переведем массу в килограммы, разделив на 1000: $M_{кг} = \frac{39000\pi}{1000} = 39\pi$ кг.

Для получения численного значения, используем $\pi \approx 3.14159$: $M_{кг} \approx 39 \cdot 3.14159 \approx 122.52$ кг.

Ответ: для покраски 1000 ведер нужно $39\pi$ кг краски, что приблизительно составляет $122.52$ кг.