Номер 3.78, страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.78. Две стороны треугольника равны 8 и 15, а угол между ними – 60°. Найдите площадь полной поверхности тела, образованного вращением данного треугольника вокруг большего основания.

Пусть в треугольнике известны две стороны $a = 8$ и $b = 15$, и угол между ними $\gamma = 60^\circ$. Для того чтобы определить, какая из сторон является наибольшей, необходимо найти длину третьей стороны. Обозначим ее $c$ и воспользуемся теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$ Подставив данные значения, получим: $c^2 = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ)$ $c^2 = 64 + 225 - 240 \cdot \frac{1}{2}$ $c^2 = 289 - 120$ $c^2 = 169$ $c = \sqrt{169} = 13$

Таким образом, стороны треугольника равны 8, 13 и 15. Наибольшей стороной (основанием) является сторона длиной 15. Вращение треугольника происходит вокруг этой стороны. При вращении треугольника вокруг одной из его сторон образуется тело, состоящее из двух конусов, которые соединены своими основаниями. Площадь полной поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов. Образующими конусов являются две другие стороны треугольника, то есть $l_1 = 8$ и $l_2 = 13$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей. Для нахождения площади полной поверхности тела вращения $S_{полн}$ нам необходимо найти радиус общего основания конусов $R$. Этот радиус равен высоте треугольника $h$, опущенной на его большую сторону (ось вращения). Найдем площадь треугольника, используя формулу с двумя сторонами и углом между ними: $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 \cdot \sin(60^\circ) = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$ С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через основание (большую сторону) и высоту $h = R$: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h$ Приравняем два выражения для площади: $\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot R = 30\sqrt{3}$ $15R = 60\sqrt{3}$ $R = \frac{60\sqrt{3}}{15} = 4\sqrt{3}$

Теперь мы можем вычислить площадь полной поверхности тела вращения, которая равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов: $S_{полн} = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi R l_1 + \pi R l_2 = \pi R (l_1 + l_2)$ Подставим найденные значения $R = 4\sqrt{3}$, $l_1 = 8$ и $l_2 = 13$: $S_{полн} = \pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot (8 + 13)$ $S_{полн} = \pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot 21$ $S_{полн} = 84\pi\sqrt{3}$

Ответ: $84\pi\sqrt{3}$