Номер 3.79, страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.79. Площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в конус, равна площади боковой поверхности этого конуса, а осевое сечение конуса есть прямоугольный треугольник. Докажите, что расстояние от вершины конуса до верхнего основания цилиндра равно половине образующей конуса.

Обозначим параметры конуса: $R$ — радиус основания, $H$ — высота, $L$ — образующая. Обозначим параметры вписанного цилиндра: $r$ — радиус основания, $h$ — высота.

По условию, осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Это равнобедренный прямоугольный треугольник, катетами которого являются образующие $L$, а гипотенузой — диаметр основания $2R$. Угол при вершине конуса равен $90^\circ$.

Из свойств равнобедренного прямоугольного треугольника (осевого сечения) следует, что высота конуса $H$, опущенная на диаметр, является медианой и равна половине гипотенузы. Следовательно, $H = \frac{1}{2}(2R) = R$.

По теореме Пифагора для треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей конуса: $L^2 = H^2 + R^2$. Подставив $H=R$, получаем: $L^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$, откуда $L = R\sqrt{2}$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок. кон.} = \pi RL$.

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и двух площадей оснований: $S_{полн. цил.} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)$.

По условию задачи, эти площади равны: $S_{полн. цил.} = S_{бок. кон.}$ $2\pi r(h+r) = \pi RL$ Разделив обе части на $\pi$, получаем: $2r(h+r) = RL$.

Теперь свяжем размеры цилиндра с размерами конуса. Рассмотрим осевое сечение всей системы. Сечением является прямоугольник (сечение цилиндра) с размерами $2r$ и $h$, вписанный в равнобедренный прямоугольный треугольник (сечение конуса) с основанием $2R$ и высотой $H$.

Малый конус, расположенный над верхним основанием цилиндра, подобен исходному конусу. Высота малого конуса равна $H - h$. Радиус его основания равен радиусу цилиндра $r$. Из подобия треугольников в осевом сечении следует соотношение: $\frac{H-h}{H} = \frac{r}{R}$.

Искомое расстояние от вершины конуса до верхнего основания цилиндра — это и есть высота малого конуса. Обозначим это расстояние как $d$. $d = H - h$.

Тогда из соотношения подобия: $\frac{d}{H} = \frac{r}{R}$.

Так как для нашего конуса $H=R$, получаем: $\frac{d}{R} = \frac{r}{R}$, откуда следует, что $r=d$.

Также из $d = H - h$ и $H=R$ выразим высоту цилиндра $h$: $h = H - d = R - d$.

Подставим полученные выражения для $r$ и $h$ в уравнение равенства площадей $2r(h+r) = RL$: $2d((R-d)+d) = RL$ $2d \cdot R = RL$

Поскольку радиус конуса $R > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $R$: $2d = L$ $d = \frac{L}{2}$

Таким образом, мы доказали, что расстояние от вершины конуса до верхнего основания цилиндра равно половине образующей конуса.

Ответ: Что и требовалось доказать.