Номер 3.72, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.72. Образующая усеченного конуса наклонена к плоскости основания под углом 30, а площадь осевого сечения равна $\text{Q}$. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.

Пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований усеченного конуса соответственно, $l$ — его образующая, а $h$ — высота.

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию с основаниями $2R$ и $2r$, боковыми сторонами $l$ и высотой $h$. Площадь этой трапеции $Q$ равна: $Q = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r)h$.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (R+r)l$.

Наша цель — выразить $S_{бок}$ через $Q$. Для этого выразим сумму радиусов $(R+r)$ из формулы для площади осевого сечения: $R+r = \frac{Q}{h}$.

Подставим это выражение в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = \pi \cdot \frac{Q}{h} \cdot l = \pi Q \frac{l}{h}$.

По условию, образующая $l$ наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота конуса $h$ и разность радиусов оснований $(R-r)$, а гипотенузой — образующая $l$. Угол между образующей (гипотенузой) и большим основанием (проекцией образующей) равен $30^\circ$.

Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin 30^\circ = \frac{h}{l}$.

Отсюда находим отношение $\frac{l}{h}$: $\frac{l}{h} = \frac{1}{\sin 30^\circ}$.

Теперь подставим это отношение в полученную ранее формулу для $S_{бок}$: $S_{бок} = \pi Q \cdot \frac{1}{\sin 30^\circ}$.

Так как значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем: $S_{бок} = \pi Q \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\pi Q$.

Ответ: $2\pi Q$.