Номер 3.66, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.66. Высота равностороннего треугольника $ABC$ равна $\text{h}$. Найдите площадь полной поверхности тела, образованного вращением этого треугольника вокруг стороны $\text{AB}$ (рис. 3.36).

Рис. 3.36

Тело, образованное вращением равностороннего треугольника $ABC$ вокруг стороны $AB$, представляет собой два одинаковых конуса с общим основанием. Вершины этих конусов находятся в точках $A$ и $B$.

Площадь полной поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (так как основания конусов находятся внутри тела, их площадь не учитывается).

Параметры каждого конуса:

• Радиус основания $r$ равен высоте треугольника $ABC$, опущенной из вершины $C$ на сторону $AB$. По условию, высота равностороннего треугольника равна $h$, следовательно, $r = h$.
• Образующая $l$ конуса равна стороне равностороннего треугольника. Обозначим сторону треугольника как $a$. Таким образом, $l = a$.

Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

Площадь полной поверхности тела вращения $S_{полн}$ будет равна:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{бок} = 2 \pi r l = 2 \pi h a$

Теперь необходимо выразить сторону треугольника $a$ через его высоту $h$. Для равностороннего треугольника связь между стороной и высотой можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, стороной $a$ (гипотенуза) и половиной основания $\frac{a}{2}$ (катет). По теореме Пифагора:

$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$

$h^2 = \frac{3a^2}{4}$

Выразим $a^2$ через $h^2$:

$a^2 = \frac{4h^2}{3}$

Отсюда находим $a$:

$a = \sqrt{\frac{4h^2}{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$

Подставим полученное выражение для $a$ в формулу площади полной поверхности:

$S_{полн} = 2 \pi h a = 2 \pi h \left( \frac{2h}{\sqrt{3}} \right) = \frac{4 \pi h^2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$S_{полн} = \frac{4 \pi h^2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4 \pi \sqrt{3} h^2}{3}$

Ответ: $\frac{4 \pi \sqrt{3} h^2}{3}$