Номер 3.60, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.60. В конус вписана правильная четырехугольная пирамида, сторона основания которой равна $\sqrt{2}$ см, а высота $\text{5}$ см. Найдите площадь осевого сечения (рис. 3.34).

Рис. 3.34

Пусть в конус вписана правильная четырехугольная пирамида `EABCD`. Это означает, что основание пирамиды, квадрат `ABCD`, вписано в окружность основания конуса, а вершина пирамиды `E` совпадает с вершиной конуса. Высота пирамиды `EO` также является высотой конуса, где `O` — центр основания.

По условию, сторона основания пирамиды (квадрата) равна $a = \sqrt{2}$ см, а высота пирамиды (и конуса) равна $h = 5$ см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр `d` основания конуса, а высотой — высота конуса `h`. Площадь осевого сечения `S` вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = R \cdot h$, где `R` — радиус основания конуса.

Чтобы найти площадь сечения, нам нужно определить радиус основания конуса `R`.

Так как квадрат `ABCD` вписан в окружность основания конуса, его диагональ `AC` является диаметром этой окружности. Найдем длину диагонали квадрата со стороной $a = \sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника `ABC` (или по формуле диагонали квадрата $d_{кв} = a\sqrt{2}$):

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$ см.

Таким образом, диаметр основания конуса равен $d = AC = 2$ см.

Радиус основания конуса равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь осевого сечения конуса, зная радиус $R=1$ см и высоту $h=5$ см:

$S = R \cdot h = 1 \cdot 5 = 5$ см$^2$.

Ответ: 5 см$^2$.