Номер 3.54, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.54. Радиус конуса равен $\text{R}$, а площадь осевого сечения – $\text{Q}$. Найдите его образующую, если:

1) $R=5 \text{ см}$, $Q=60 \text{ см}^2$;

2) $R=6 \text{ м}$, $Q=48 \text{ м}^2$;

3) $R=3 \text{ м}$, $Q=12 \text{ м}^2$.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса ($d=2R$), его высота равна высоте конуса ($H$), а боковые стороны равны образующим конуса ($L$).

Площадь осевого сечения $Q$ вычисляется как площадь этого треугольника: $Q = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$

Из этой формулы мы можем найти высоту конуса $H$: $H = \frac{Q}{R}$

Образующая $L$, радиус $R$ и высота $H$ связаны теоремой Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой: $L^2 = R^2 + H^2$ Следовательно, образующая равна: $L = \sqrt{R^2 + H^2}$

Теперь решим задачу для каждого из приведенных случаев.

1) Дано: $R=5$ см, $Q=60$ см².

Сначала найдем высоту конуса $H$:

$H = \frac{Q}{R} = \frac{60}{5} = 12$ см.

Теперь, используя теорему Пифагора, найдем образующую $L$:

$L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

2) Дано: $R=6$ м, $Q=48$ м².

Найдем высоту конуса $H$:

$H = \frac{Q}{R} = \frac{48}{6} = 8$ м.

Найдем образующую $L$:

$L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ м.

Ответ: 10 м.

3) Дано: $R=3$ м, $Q=12$ м².

Найдем высоту конуса $H$:

$H = \frac{Q}{R} = \frac{12}{3} = 4$ м.

Найдем образующую $L$:

$L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ м.

Ответ: 5 м.