Номер 3.53, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.53. Образующая конуса равна $\text{l}$, а высота $\text{h}$. Найдите площадь полной поверхности, если:

1) $l=13$ см, $h=12$ см;

2) $l=10$ м, $h=6$ м;

3) $l=5$ м, $h=4$ м.

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) равна сумме площади его основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). Основание конуса — это круг, поэтому его площадь вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$, где $r$ — радиус основания. Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $l$ — образующая конуса. Таким образом, формула для площади полной поверхности конуса: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l)$. Образующая $l$, высота $h$ и радиус основания $r$ конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$. Из этого соотношения мы можем найти радиус основания, который не дан в условии задачи: $r = \sqrt{l^2 - h^2}$.

1) Даны образующая $l=13$ см и высота $h=12$ см. Сначала найдем радиус основания конуса: $r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см. Теперь, зная радиус и образующую, можем вычислить площадь полной поверхности: $S_{полн} = \pi r(r+l) = \pi \cdot 5 \cdot (5 + 13) = \pi \cdot 5 \cdot 18 = 90\pi$ см². Ответ: $90\pi$ см².

2) Даны образующая $l=10$ м и высота $h=6$ м. Найдем радиус основания: $r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ м. Вычислим площадь полной поверхности: $S_{полн} = \pi r(r+l) = \pi \cdot 8 \cdot (8 + 10) = \pi \cdot 8 \cdot 18 = 144\pi$ м². Ответ: $144\pi$ м².

3) Даны образующая $l=5$ м и высота $h=4$ м. Найдем радиус основания: $r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ м. Вычислим площадь полной поверхности: $S_{полн} = \pi r(r+l) = \pi \cdot 3 \cdot (3 + 5) = \pi \cdot 3 \cdot 8 = 24\pi$ м². Ответ: $24\pi$ м².