Номер 3.46, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.46. На рис. 3.31 дана развертка боковой поверхности конуса. Найдите высоту и радиус основания конуса.

Рис. 3.31

Нахождение радиуса основания конуса

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Длина дуги этого сектора ($C$) равна длине окружности основания конуса. Радиус этого сектора является образующей конуса ($l$).

По условию, длина дуги развертки $C = 13\pi$.

Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле $C_{осн} = 2\pi r$, где $r$ - радиус основания.

Приравниваем длину дуги развертки и длину окружности основания:

$2\pi r = 13\pi$

Чтобы найти радиус $r$, разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$r = \frac{13\pi}{2\pi} = \frac{13}{2} = 6.5$

Ответ: радиус основания конуса равен 6.5.

Нахождение высоты конуса

Высота конуса ($h$), радиус его основания ($r$) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + r^2$

Из условия задачи известно, что образующая конуса равна радиусу сектора развертки, то есть $l = 16$. Радиус основания мы нашли в предыдущем пункте: $r = 6.5$.

Выразим высоту $h$ из теоремы Пифагора:

$h = \sqrt{l^2 - r^2}$

Подставим известные значения:

$h = \sqrt{16^2 - (6.5)^2} = \sqrt{256 - 42.25} = \sqrt{213.75}$

Для упрощения выражения представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $213.75 = 213\frac{75}{100} = 213\frac{3}{4} = \frac{852+3}{4} = \frac{855}{4}$.

$h = \sqrt{\frac{855}{4}} = \frac{\sqrt{855}}{2}$

Разложим число 855 на простые множители, чтобы вынести множитель из-под знака корня: $855 = 5 \cdot 171 = 5 \cdot 9 \cdot 19 = 3^2 \cdot 95$.

$h = \frac{\sqrt{9 \cdot 95}}{2} = \frac{3\sqrt{95}}{2}$

Ответ: высота конуса равна $\frac{3\sqrt{95}}{2}$.