Номер 3.42, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.42. В трапецию вписана окружность радиусом 6. Точка касания окружности делит нижнее основание на отрезки, равные 9 и 12. Найдите стороны трапеции и ее площадь.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, в которую вписана окружность. Пусть $r$ — радиус вписанной окружности, по условию $r = 6$.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, следовательно, $h = 2r = 2 \cdot 6 = 12$.

Пусть $N$ — точка касания окружности с нижним основанием $AD$. По условию, точка $N$ делит основание $AD$ на отрезки длиной 9 и 12. Пусть $AN=12$ и $ND=9$. Тогда длина нижнего основания равна $AD = AN + ND = 12 + 9 = 21$.

Обозначим точки касания окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $CD$ как $K$, $L$ и $M$ соответственно. По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки касательных от вершины до точек касания равны: $AK = AN = 12$, $DM = DN = 9$, $BK = BL$ и $CM = CL$.

Рассмотрим боковую сторону $AB$. Центр вписанной окружности $O$ лежит на биссектрисах углов трапеции. Поскольку $AD \parallel BC$, сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$: $\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$.

Так как $AO$ и $BO$ — биссектрисы углов $DAB$ и $ABC$ соответственно, то $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle DAB$ и $\angle OBA = \frac{1}{2}\angle ABC$. В треугольнике $AOB$ сумма этих углов равна $\angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2}(\angle DAB + \angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $AOB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$ ($\angle AOB = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $AOB$ отрезок $OK$ является высотой, проведенной к гипотенузе $AB$ (поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). Длина этой высоты равна радиусу окружности: $OK = r = 6$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $OK^2 = AK \cdot BK$.

Подставим известные значения: $6^2 = 12 \cdot BK$.

$36 = 12 \cdot BK$, откуда $BK = 3$.

Теперь найдем длину боковой стороны $AB$: $AB = AK + BK = 12 + 3 = 15$.

Аналогично рассмотрим боковую сторону $CD$. Треугольник $COD$ также является прямоугольным ($\angle COD = 90^\circ$), а $OM$ — его высота, проведенная к гипотенузе $CD$, причем $OM = r = 6$.

Используем то же свойство: $OM^2 = CM \cdot DM$.

Подставим известные значения: $6^2 = CM \cdot 9$.

$36 = 9 \cdot CM$, откуда $CM = 4$.

Найдем длину боковой стороны $CD$: $CD = CM + DM = 4 + 9 = 13$.

Теперь найдем длину верхнего основания $BC$. Оно состоит из отрезков $BL$ и $CL$. По свойству касательных $BL = BK = 3$ и $CL = CM = 4$.

Следовательно, $BC = BL + CL = 3 + 4 = 7$.

Итак, мы нашли все стороны трапеции: основания равны 21 и 7, боковые стороны — 15 и 13.

Осталось найти площадь трапеции. Формула площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

Подставим наши значения:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{21+7}{2} \cdot 12 = \frac{28}{2} \cdot 12 = 14 \cdot 12 = 168$.

Ответ: стороны трапеции равны 21, 7, 15, 13; площадь трапеции равна 168.