Номер 3.40, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.40. Какой должна быть зависимость между радиусом и высотой цилиндра, чтобы площадь его боковой поверхности была равна площади круга, описанного около его осевого сечения (рис. 3.16)?

Рис. 3.16

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле, как произведение длины окружности основания на высоту: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник (на рисунке $ABCD$) со сторонами, равными диаметру основания $d=2r$ и высоте цилиндра $h$.

Круг, описанный около этого осевого сечения, — это круг, описанный около прямоугольника $ABCD$. Диаметр этого круга совпадает с диагональю прямоугольника, например, $AC$. Обозначим радиус описанного круга как $R_{окр}$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ найдем квадрат диагонали $AC$, которая является диаметром описанного круга ($AC = 2R_{окр}$): $(2R_{окр})^2 = (AB)^2 + (BC)^2$ $(2R_{окр})^2 = (2r)^2 + h^2$ $4R_{окр}^2 = 4r^2 + h^2$.

Площадь круга, описанного около осевого сечения, $S_{круг}$ равна: $S_{круг} = \pi R_{окр}^2$. Из предыдущего шага выразим $R_{окр}^2$: $R_{окр}^2 = \frac{4r^2 + h^2}{4}$. Тогда площадь круга: $S_{круг} = \pi \frac{4r^2 + h^2}{4}$.

Согласно условию задачи, площадь боковой поверхности цилиндра должна быть равна площади этого круга: $S_{бок} = S_{круг}$ $2 \pi r h = \pi \frac{4r^2 + h^2}{4}$.

Упростим полученное уравнение. Сократим обе части на $\pi$ и умножим на 4: $2rh \cdot 4 = 4r^2 + h^2$ $8rh = 4r^2 + h^2$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение, связывающее $h$ и $r$: $h^2 - 8rh + 4r^2 = 0$.

Это и есть искомая зависимость. Для более наглядного представления можно найти отношение $\frac{h}{r}$. Разделим все уравнение на $r^2$ (поскольку радиус $r \ne 0$): $(\frac{h}{r})^2 - 8(\frac{h}{r}) + 4 = 0$.

Введем замену $x = \frac{h}{r}$. Уравнение примет вид стандартного квадратного уравнения: $x^2 - 8x + 4 = 0$.

Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$. $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16 \cdot 3}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$.

Поскольку $h$ и $r$ — это длины, они должны быть положительными. Оба найденных значения для отношения $x=\frac{h}{r}$ положительны ($2\sqrt{3} \approx 3.46$, поэтому $4 - 2\sqrt{3} > 0$), следовательно, оба решения являются допустимыми.

Ответ: Зависимость между высотой $h$ и радиусом $r$ цилиндра выражается уравнением $h^2 - 8rh + 4r^2 = 0$. Эквивалентно, отношение высоты к радиусу должно быть равно $\frac{h}{r} = 4 \pm 2\sqrt{3}$.