Номер 3.35, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.35. Одно из двух сечений цилиндра, проходящих через одну образующую, проходит через ось цилиндра, а двугранный угол между данными сечениями равен $ \phi $. Найдите отношение площадей этих сечений.

Пусть дан цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $H$. В условии задачи рассматриваются два сечения, проходящие через одну и ту же образующую. Обозначим эту образующую $AA'$, ее длина равна высоте цилиндра $H$.

Одно из сечений проходит через ось цилиндра. Такое сечение называется осевым. Осевое сечение представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются образующая цилиндра и диаметр его основания. Пусть площадь осевого сечения будет $S_1$. Его стороны равны $H$ и $2R$.

Площадь осевого сечения: $S_1 = 2R \cdot H$.

Второе сечение также проходит через образующую $AA'$. Оно тоже является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника — образующая $AA'$ длиной $H$. Другая сторона — это хорда в основании цилиндра, проведенная из точки $A$. Обозначим эту хорду как $AB$, а ее длину как $c$. Пусть площадь этого сечения будет $S_2$.

Площадь второго сечения: $S_2 = c \cdot H$.

Двугранный угол между плоскостями этих двух сечений равен $φ$. Линия пересечения этих плоскостей — общая образующая $AA'$. Величина двугранного угла измеряется линейным углом, который образуется при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. В нашем случае такой плоскостью является плоскость основания цилиндра.

Рассмотрим основание цилиндра. Трассой (линией пересечения) осевого сечения с плоскостью основания является диаметр, проходящий через точку $A$. Обозначим его $AC$. Его длина равна $2R$. Трассой второго сечения является хорда $AB$, длина которой равна $c$. Угол между диаметром $AC$ и хордой $AB$ является линейным углом двугранного угла, следовательно, $\angle BAC = φ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, вписанный в окружность основания. Сторона $AC$ является диаметром этой окружности. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым, поэтому $\angle ABC = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AC = 2R$, а катет $AB = c$. Мы можем выразить катет $AB$ через гипотенузу $AC$ и прилежащий угол $\angle BAC = φ$:

$c = |AB| = |AC| \cdot \cos(\angle BAC) = 2R \cdot \cos(φ)$.

Теперь мы можем найти площадь второго сечения $S_2$:

$S_2 = c \cdot H = (2R \cdot \cos(φ)) \cdot H = 2RH \cos(φ)$.

Нам нужно найти отношение площадей этих сечений. Это может быть отношение $S_2$ к $S_1$ или $S_1$ к $S_2$.

Найдем отношение площади второго сечения к площади осевого сечения:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{2RH \cos(φ)}{2RH} = \cos(φ)$.

Обратное отношение, площади осевого сечения к площади второго сечения, будет:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2RH}{2RH \cos(φ)} = \frac{1}{\cos(φ)}$.

Поскольку в задаче не указан порядок, в котором нужно находить отношение, и так как осевое сечение имеет наибольшую площадь из всех сечений, проходящих через данную образующую (так как $\cos(φ) \le 1$), принято указывать отношение меньшей площади к большей, если не оговорено иное.

Ответ: $\cos(φ)$