Номер 3.37, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.37. Докажите, что суммы площадей противоположных граней четырехугольной призмы, описанной около цилиндра, равны.

Пусть дана четырехугольная призма, описанная около цилиндра. Это означает, что основания призмы являются четырехугольниками, описанными около окружностей, которые служат основаниями цилиндра, а боковые грани призмы касаются боковой поверхности цилиндра. Из условия касания боковых граней следует, что призма является прямой, а ее высота $h$ равна высоте цилиндра.

Рассмотрим основание призмы. Это выпуклый четырехугольник, стороны которого касаются окружности. Обозначим длины сторон этого четырехугольника как $a$, $b$, $c$, $d$ в порядке обхода.

Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Площадь каждой боковой грани равна произведению длины соответствующей стороны основания на высоту призмы $h$. Обозначим площади четырех боковых граней, соответствующих сторонам $a$, $b$, $c$, $d$, как $S_1, S_2, S_3, S_4$. Тогда их площади равны $S_1 = a \cdot h$, $S_2 = b \cdot h$, $S_3 = c \cdot h$ и $S_4 = d \cdot h$.

Противоположными гранями призмы являются те, что соответствуют противоположным сторонам четырехугольника в основании. Пусть грани с площадями $S_1$ и $S_3$ соответствуют противоположным сторонам $a$ и $c$, а грани с площадями $S_2$ и $S_4$ также противоположны и соответствуют сторонам $b$ и $d$.

Нам необходимо доказать, что суммы площадей противоположных граней равны, то есть: $S_1 + S_3 = S_2 + S_4$.

Подставим в это равенство выражения для площадей: $a \cdot h + c \cdot h = b \cdot h + d \cdot h$.

Вынесем общий множитель $h$ за скобки в левой и правой частях уравнения: $h(a + c) = h(b + d)$.

Поскольку высота призмы $h$ является положительной величиной ($h > 0$), мы можем разделить обе части равенства на $h$, получив: $a + c = b + d$.

Это равенство является свойством любого четырехугольника, в который можно вписать окружность. Оно известно как теорема Пито, которая гласит, что суммы длин противоположных сторон описанного четырехугольника равны. Так как основание нашей призмы является четырехугольником, описанным около окружности (основания цилиндра), для него это свойство выполняется.

Поскольку равенство $a + c = b + d$ истинно для основания призмы, то, проделав рассуждения в обратном порядке, мы приходим к выводу, что равенство $S_1 + S_3 = S_2 + S_4$ также истинно.

Ответ: Суммы площадей противоположных граней четырехугольной призмы, описанной около цилиндра, равны. Что и требовалось доказать.