Номер 3.43, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

3.43. Из плотной бумаги вырежьте круг. Полученный круг разрежьте по каким-либо двум радиусам и разделите круг на два круговых сектора. Из каждого сектора постройте (сконструируйте) коническую поверхность.

Для выполнения данного практического задания необходимо следовать пошаговой инструкции. Это задача на пространственное воображение и конструирование, которая демонстрирует, как развертка конуса связана с круговым сектором.

Шаг 1: Подготовка круга.

Возьмите лист плотной бумаги или картона. С помощью циркуля начертите на нем круг произвольного, но достаточно большого для удобства работы радиуса $R$. Аккуратно вырежьте этот круг ножницами. Точку в центре круга, оставшуюся от иглы циркуля, можно пометить как центр $O$.

Шаг 2: Разделение круга на секторы.

Проведите из центра $O$ к краю круга две линии (радиусы). Обозначим точки пересечения с окружностью как $A$ и $B$. Таким образом, у вас есть два радиуса $OA$ и $OB$. Угол между ними, $\angle AOB = \alpha$, можно выбрать произвольно. Чем больше этот угол, тем более "широким" будет один сектор и "узким" другой. Разрежьте круг по этим двум радиусам. В результате вы получите два отдельных круговых сектора:

• Малый сектор с центральным углом $\alpha$.
• Большой сектор с центральным углом $360^\circ - \alpha$.

Шаг 3: Конструирование конической поверхности.

Возьмите один из полученных секторов. Чтобы сделать из него конус, нужно соединить его прямые края (то есть радиусы, по которым вы делали разрез). Совместите край $OA$ с краем $OB$ и склейте их с помощью клея или скрепите скотчем. При этом дуга сектора (часть исходной окружности) образует окружность в основании конуса, а центр исходного круга $O$ станет вершиной конуса. Радиус сектора $R$ становится образующей конуса $l$ (то есть $l=R$).

Шаг 4: Создание второго конуса.

Повторите те же действия со вторым сектором. Вы также получите коническую поверхность, но с другими параметрами. У этого конуса будет такая же длина образующей $l=R$, но другой радиус основания и другая высота.

В результате из одного круга вы построили две конические поверхности. Этот процесс наглядно иллюстрирует, что боковая поверхность конуса представляет собой развертку в виде кругового сектора. Длина дуги этого сектора, $L_{дуги}$, равна длине окружности основания конуса, $C_{осн}$. Если радиус основания конуса равен $r$, то $C_{осн} = 2\pi r$. Для сектора с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (в градусах) длина дуги равна $L_{дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$. Приравнивая эти два выражения, получаем связь между параметрами: $2\pi r = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$, что упрощается до $r = R \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$.

Ответ: Для построения конической поверхности из кругового сектора необходимо совместить и склеить его прямолинейные стороны (радиусы). Эта операция, выполненная для каждого из двух секторов, полученных после разрезания исходного круга, приводит к созданию двух конических поверхностей.