Номер 3.44, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.44. По развертке конуса (рис. 3.28) найдите его высоту, радиус и площадь полной поверхности.

Рис. 3.28

Развертка конуса, представленная на рисунке, содержит противоречивые данные. Боковая поверхность конуса представляет собой сектор, длина дуги которого должна быть равна длине окружности основания. На рисунке длина дуги сектора равна 22,4. Основание же представлено в виде круга с диаметром 20, длина окружности которого равна $20\pi \approx 62,83$. Так как $22,4 \neq 20\pi$, данные не могут одновременно описывать один и тот же конус.

Для решения задачи примем, что верными являются данные, относящиеся к сектору, который задает боковую поверхность конуса. Таким образом, образующая конуса $l$ (как радиус сектора) равна 8, а длина окружности его основания $C$ (как длина дуги сектора) равна 22,4. Круг с диаметром 20 будем считать не относящимся к условию задачи.

Радиус

Длина окружности основания конуса $C$ связана с его радиусом $r$ формулой $C = 2\pi r$. Исходя из данных развертки, мы имеем $C = 22,4$.

Отсюда мы можем выразить и найти радиус основания конуса:

$r = \frac{C}{2\pi} = \frac{22,4}{2\pi} = \frac{11,2}{\pi}$

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3,14159$:

$r \approx \frac{11,2}{3,14159} \approx 3,565$

Ответ: $r = \frac{11,2}{\pi} \approx 3,57$.

Высота

Высота конуса $h$, радиус основания $r$ и образующая $l$ для прямого кругового конуса связаны теоремой Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$.

Мы знаем, что образующая $l = 8$, а радиус $r = \frac{11,2}{\pi}$. Выразим высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{8^2 - \left(\frac{11,2}{\pi}\right)^2} = \sqrt{64 - \frac{125,44}{\pi^2}}$

Вычислим приближенное значение:

$h \approx \sqrt{64 - (3,565)^2} \approx \sqrt{64 - 12,709} \approx \sqrt{51,291} \approx 7,162$

Ответ: $h = \sqrt{64 - \frac{125,44}{\pi^2}} \approx 7,16$.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь боковой поверхности можно найти как площадь сектора развертки. Формула площади сектора через длину дуги $C$ и радиус сектора $l$: $S_{бок} = \frac{1}{2}Cl$.

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 22,4 \cdot 8 = 11,2 \cdot 8 = 89,6$

Также можно использовать формулу $S_{бок} = \pi r l$:

$S_{бок} = \pi \cdot \frac{11,2}{\pi} \cdot 8 = 11,2 \cdot 8 = 89,6$

Площадь основания вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$.

$S_{осн} = \pi \left(\frac{11,2}{\pi}\right)^2 = \pi \frac{125,44}{\pi^2} = \frac{125,44}{\pi}$

Вычислим приближенное значение площади основания:

$S_{осн} \approx \frac{125,44}{3,14159} \approx 39,932$

Теперь найдем площадь полной поверхности, сложив площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 89,6 + \frac{125,44}{\pi}$

Приближенное значение:

$S_{полн} \approx 89,6 + 39,932 = 129,532$

Ответ: $S_{полн} = 89,6 + \frac{125,44}{\pi} \approx 129,53$.