Номер 3.49, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.49. Найдите площадь боковой поверхности конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг его меньшего катета, если катеты этого треугольника равны 6 см и 8 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Конус образуется путем вращения этого треугольника вокруг его меньшего катета.

Меньший катет равен 6 см. При вращении треугольника вокруг этого катета, он становится высотой конуса ($h$), а другой катет становится радиусом основания конуса ($r$). Гипотенуза треугольника становится образующей конуса ($l$).

Таким образом, параметры конуса следующие:

• Высота конуса $h = 6$ см (меньший катет).
• Радиус основания конуса $r = 8$ см (больший катет).

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$.

Для использования этой формулы нам необходимо найти длину образующей $l$. Образующая $l$ является гипотенузой исходного прямоугольного треугольника. Найдем ее, используя теорему Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$.

Подставим значения $r$ и $h$:

$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot 8 \cdot 10 = 80\pi$ см².

Ответ: $80\pi$ см².