Вопросы, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое конус? Назовите все элементы конуса. Приведите пример конуса из повседневной жизни. Назовите размеры его элементов (радиус, образующая, высота).

2. Запишите формулу площади боковой поверхности конуса. Докажите ее.

3. Что такое усеченный конус? Назовите все элементы усеченного конуса.

4. Запишите формулу площади боковой поверхности усеченного конуса. Докажите ее.

1. Конус – это геометрическое тело, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Также конус можно определить как тело, состоящее из круга (основание конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершина конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками на границе основания (образующих).

Основными элементами конуса являются:

Вершина – точка, из которой выходят образующие.

Основание – круг, лежащий в основании фигуры.

Образующая ($l$) – любой отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой на окружности основания. Все образующие прямого конуса равны.

Высота ($h$) – перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. В прямом конусе высота соединяет вершину с центром основания.

Радиус ($r$) – радиус основания конуса.

Ось – прямая, проходящая через вершину и центр основания. В прямом круговом конусе ось перпендикулярна основанию.

Примером конуса из повседневной жизни может служить праздничный колпак или вафельный рожок для мороженого. Возьмем для примера праздничный колпак с примерными размерами:

Радиус основания ($r$) = 10 см.

Высота ($h$) = 24 см.

Образующую ($l$) можно найти по теореме Пифагора, так как радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ см.

Ответ: Конус – это тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Элементы: вершина, основание, образующая ($l$), высота ($h$), радиус ($r$). Пример: праздничный колпак с $r = 10$ см, $h = 24$ см, $l = 26$ см.

2. Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания, а $l$ – длина образующей.

Доказательство:

Боковую поверхность конуса можно развернуть на плоскости. В результате мы получим круговой сектор. Радиусом этого сектора будет образующая конуса $l$, а длина дуги этого сектора будет равна длине окружности основания конуса, то есть $C = 2\pi r$.

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле $S_{сектора} = \frac{1}{2} L R$, где $L$ – длина дуги, а $R$ – радиус сектора.

В нашем случае радиус сектора $R$ равен образующей $l$, а длина дуги $L$ равна длине окружности основания $2\pi r$. Подставим эти значения в формулу площади сектора:

$S_{бок} = S_{сектора} = \frac{1}{2} \cdot (2\pi r) \cdot l = \pi r l$.

Таким образом, формула доказана.

Ответ: $S_{бок} = \pi r l$. Доказательство основано на развертке боковой поверхности конуса в круговой сектор, площадь которого равна площади боковой поверхности.

3. Усеченный конус – это часть полного конуса, заключенная между его основанием и плоскостью, параллельной основанию и пересекающей конус.

Элементами усеченного конуса являются:

Нижнее и верхнее основания – два параллельных круга. Их радиусы обычно обозначают как $R$ (для большего, нижнего основания) и $r$ (для меньшего, верхнего основания).

Высота ($h$) – расстояние между плоскостями оснований (длина перпендикуляра, проведенного из центра одного основания к плоскости другого).

Образующая ($l$) – отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований и лежащий на боковой поверхности.

Боковая поверхность – часть конической поверхности исходного конуса, заключенная между основаниями.

Ответ: Усеченный конус – это часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Его элементы: два основания с радиусами $R$ и $r$, высота $h$, образующая $l$.

4. Формула площади боковой поверхности усеченного конуса: $S_{бок} = \pi (R + r) l$, где $R$ и $r$ – радиусы оснований, а $l$ – длина образующей.

Доказательство:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти как разность площадей боковых поверхностей двух конусов: большого (исходного) конуса и малого (отсеченного) конуса.

Пусть $L$ – образующая большого конуса с радиусом основания $R$, а $L_1$ – образующая малого конуса с радиусом основания $r$. Образующая усеченного конуса равна $l = L - L_1$.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса: $S_{бок} = S_{большого} - S_{малого} = \pi R L - \pi r L_1$.

Осевое сечение конусов представляет собой два подобных равнобедренных треугольника. Из подобия следует, что $\frac{r}{R} = \frac{L_1}{L}$, откуда $L_1 = L \frac{r}{R}$.

Подставим это в выражение для $l$: $l = L - L_1 = L - L \frac{r}{R} = L(1 - \frac{r}{R}) = L\frac{R-r}{R}$.

Из этого равенства выразим $L$: $L = \frac{lR}{R-r}$.

Теперь найдем $L_1$: $L_1 = L - l = \frac{lR}{R-r} - l = \frac{lR - l(R-r)}{R-r} = \frac{lR - lR + lr}{R-r} = \frac{lr}{R-r}$.

Подставим найденные выражения для $L$ и $L_1$ в формулу площади:

$S_{бок} = \pi R \left(\frac{lR}{R-r}\right) - \pi r \left(\frac{lr}{R-r}\right) = \frac{\pi l R^2 - \pi l r^2}{R-r} = \frac{\pi l (R^2 - r^2)}{R-r}$.

Применим формулу разности квадратов $R^2 - r^2 = (R-r)(R+r)$:

$S_{бок} = \frac{\pi l (R-r)(R+r)}{R-r} = \pi l (R+r)$.

Формула доказана.

Ответ: $S_{бок} = \pi (R + r) l$. Доказательство основано на представлении боковой поверхности усеченного конуса как разности боковых поверхностей полного и отсеченного конусов.