Номер 3.36, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.36. Как построить касательную плоскость цилиндра, проходящую через данную точку вне цилиндра? (Для того чтобы построить плоскость, достаточно указать две пересекающиеся прямые, лежащие в этой плоскости).

Для построения касательной плоскости к цилиндру, проходящей через данную точку $M$ вне цилиндра, необходимо, согласно подсказке, указать две пересекающиеся прямые, которые однозначно зададут эту плоскость. Касательная плоскость к цилиндру всегда содержит целую образующую цилиндра. Таким образом, одной из искомых прямых будет образующая. Вторую прямую нужно построить так, чтобы она пересекала первую и чтобы плоскость, заданная ими, проходила через точку $M$.

Алгоритм построения выглядит следующим образом:

1. Проектирование задачи на плоскость.

   Пусть дан цилиндр с осью $o$ и точка $M$, не принадлежащая цилиндру. Выберем плоскость $\Pi$, перпендикулярную оси цилиндра $o$. Эта плоскость пересекает цилиндр по окружности, которую назовем $k$. Пусть $O'$ - центр этой окружности (точка пересечения $o$ и $\Pi$).

   Через точку $M$ проведем прямую $l$, параллельную оси $o$. Найдем точку пересечения прямой $l$ с плоскостью $\Pi$ и обозначим ее $M'$. Точка $M'$ является проекцией точки $M$ на плоскость $\Pi$ вдоль направления оси цилиндра.

2. Построение касательной в плоскости проекции.

   В плоскости $\Pi$ мы имеем окружность $k$ и точку $M'$ вне ее. Из точки $M'$ построим касательную к окружности $k$. Поскольку точка $M'$ внешняя, таких касательных можно построить две. Выберем одну из них. Обозначим точку касания $T'$. Прямая, проходящая через точки $M'$ и $T'$, является касательной к окружности $k$. Обозначим эту прямую как $m'$.

3. Определение искомой плоскости.

   Через точку касания $T'$ проведем образующую $g$ цилиндра (напомним, образующая — это прямая на боковой поверхности цилиндра, параллельная его оси $o$).

   Искомая касательная плоскость $\alpha$ определяется двумя пересекающимися в точке $T'$ прямыми:

   • образующей $g$ цилиндра;
   • построенной в плоскости $\Pi$ касательной $m'$.
   Эта плоскость $\alpha$ является касательной к цилиндру, так как она содержит образующую $g$ и не пересекает цилиндр. Она также проходит через данную точку $M$, потому что прямая $l = MM'$, будучи параллельной оси $o$ (и, следовательно, образующей $g$), лежит в одной плоскости с прямой $m'$, проходящей через точку $M'$. Эта плоскость и есть $\alpha$.

Ответ: Чтобы построить касательную плоскость, нужно: 1) спроецировать данную точку $M$ на плоскость основания $\Pi$ параллельно оси цилиндра, получив точку $M'$; 2) в плоскости $\Pi$ провести из точки $M'$ касательную $m'$ к окружности основания, получив точку касания $T'$; 3) искомая плоскость определяется двумя пересекающимися прямыми: касательной $m'$ и образующей $g$ цилиндра, проходящей через точку $T'$. Поскольку из точки $M'$ можно провести две касательные к окружности основания, то, как правило, существуют две такие плоскости.