Номер 3.32, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.32. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 см и 8 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей призмы, если ее высота равна 10 см.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Высота призмы $h = 10$ см.

1. Найдем гипотенузу $c$ треугольника в основании, используя теорему Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Вычислим периметр основания:

$P_{осн} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24$ см.

3. Подставим значения периметра и высоты в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 24 \cdot 10 = 240$ см$^2$.

Ответ: площадь боковой поверхности призмы равна 240 см$^2$.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.

1. Площадь боковой поверхности уже найдена: $S_{бок} = 240$ см$^2$.

2. Найдем площадь основания ($S_{осн}$), которое является прямоугольным треугольником. Его площадь равна половине произведения катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$.

3. Теперь вычислим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 240 + 2 \cdot 24 = 240 + 48 = 288$ см$^2$.

Ответ: площадь полной поверхности призмы равна 288 см$^2$.