Номер 3.26, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.26. В цилиндр вписан октаэдр так, что две его вершины совпадают с центрами оснований цилиндра, а другие его вершины расположены на боковой поверхности. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если ребро октаэдра равно $\text{a}$ (рис. 3.13).

Рис. 3.13

Пусть $a$ — длина ребра октаэдра. Октаэдр — это правильный многогранник, состоящий из восьми граней, которые являются равносторонними треугольниками. Все 12 ребер октаэдра равны $a$.

Согласно условию, две вершины октаэдра, обозначим их $O$ и $O_1$, совпадают с центрами оснований цилиндра. Расстояние между ними $OO_1$ равно высоте цилиндра $h$.

Остальные четыре вершины октаэдра, обозначим их $A$, $B$, $C$, $D$, расположены на боковой поверхности цилиндра. В правильном октаэдре эти четыре вершины образуют квадрат, плоскость которого перпендикулярна отрезку $OO_1$ и проходит через его середину. Так как эти вершины лежат на боковой поверхности цилиндра, то они лежат на окружности, являющейся сечением цилиндра этой плоскостью. Радиус этой окружности равен радиусу основания цилиндра $R$. Таким образом, квадрат $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R$.

Поскольку все ребра октаэдра равны, то стороны квадрата $ABCD$ также равны $a$.

1. Найдем радиус основания цилиндра $R$.

Радиус $R$ цилиндра равен радиусу окружности, описанной около квадрата $ABCD$ со стороной $a$. Диагональ этого квадрата $AC$ находится по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Радиус описанной окружности равен половине диагонали: $R = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдем высоту цилиндра $h$.

Высота цилиндра $h$ равна расстоянию $OO_1$ между противоположными вершинами октаэдра. Рассмотрим треугольник $OAO_1$. В нем $OA=O_1A=a$ (ребра октаэдра). Этот треугольник является равнобедренным. Пусть $M$ — середина отрезка $OO_1$ и центр квадрата $ABCD$. Тогда $OM = \frac{h}{2}$. Треугольник $OMA$ является прямоугольным, где $\angle OMA = 90^\circ$. Катет $AM$ равен половине диагонали квадрата $ABCD$, то есть $AM = R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Гипотенуза $OA$ равна ребру октаэдра, $OA = a$. По теореме Пифагора для треугольника $OMA$: $OM^2 + AM^2 = OA^2$. $(\frac{h}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = a^2$

$\frac{h^2}{4} + \frac{2a^2}{4} = a^2$

$\frac{h^2}{4} = a^2 - \frac{a^2}{2}$

$\frac{h^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

$h^2 = 2a^2$

$h = a\sqrt{2}$.

3. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi Rh$. Подставим найденные значения $R$ и $h$: $S_{бок} = 2\pi \cdot (\frac{a\sqrt{2}}{2}) \cdot (a\sqrt{2})$

$S_{бок} = \pi \cdot (a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2})$

$S_{бок} = \pi \cdot a^2 \cdot (\sqrt{2})^2$

$S_{бок} = 2\pi a^2$.

Ответ: $2\pi a^2$.