Номер 3.21, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.21. Изобразите тело вращения, образованное вращением вокруг одной из сторон:

1) равностороннего треугольника;

2) правильного шестиугольника.

1) Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Пусть вращение происходит вокруг стороны $AC$, которая будет являться осью вращения.

Треугольник $ABC$ можно мысленно разделить на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, проведя высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Поскольку исходный треугольник равносторонний, высота $BH$ также является и медианой, а значит, точка $H$ — середина стороны $AC$.

При вращении равностороннего треугольника $ABC$ вокруг стороны $AC$, каждый из двух прямоугольных треугольников ($ABH$ и $CBH$) также вращается вокруг своего катета ($AH$ и $CH$ соответственно), лежащего на оси вращения.

Вращение прямоугольного треугольника $ABH$ вокруг катета $AH$ образует конус с вершиной в точке $A$ и радиусом основания, равным длине катета $BH$. Аналогично, вращение треугольника $CBH$ вокруг катета $CH$ образует конус с вершиной в точке $C$ и таким же радиусом основания $BH$.

Поскольку точка $H$ является общей для оснований катетов $AH$ и $CH$, два полученных конуса имеют общее основание. Это основание — круг, который описывает вершина $B$ при вращении. Радиус этого круга равен высоте равностороннего треугольника $R = BH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Высота каждого из конусов равна половине стороны треугольника: $h = AH = CH = \frac{a}{2}$.

Таким образом, тело вращения представляет собой фигуру, состоящую из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями.

Ответ: Тело, образованное вращением равностороннего треугольника вокруг одной из его сторон, представляет собой два конуса с общим основанием.

2) Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a$. Пусть вращение происходит вокруг стороны $AF$. Полученное тело вращения имеет сложную составную форму.

Внешняя форма тела определяется вращением ломаной линии $BCDE$. Сторона $CD$, будучи параллельной оси вращения $AF$, при вращении образует боковую поверхность цилиндра. Радиус этого цилиндра равен расстоянию между противоположными сторонами шестиугольника, то есть $R = a\sqrt{3}$, а его высота равна длине стороны $a$. Стороны $BC$ и $DE$ при вращении образуют боковые поверхности двух одинаковых усеченных конусов (фрустумов), которые примыкают к основаниям цилиндра.

Внутри тела образуется полость. Эта полость формируется вращением сторон, примыкающих к оси вращения, то есть $AB$ и $FE$. Поскольку точки $A$ и $F$ лежат на оси, вращение отрезков $AB$ и $FE$ создает поверхности двух конусов. Вершины этих конусов находятся в точках $A$ и $F$ соответственно.

Таким образом, тело вращения можно описать как цельное тело, имеющее форму цилиндра с присоединенными к его основаниям усеченными конусами, из которого вырезана внутренняя полость в форме двух конусов, чьи вершины лежат на оси вращения в точках $A$ и $F$.

Ответ: Тело вращения представляет собой цилиндр с двумя усеченными конусами на основаниях, имеющий внутреннюю полость в виде двух конусов, вершины которых совпадают с концами стороны, являющейся осью вращения.