Номер 3.17, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.17. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см, и она наклонена под углом $60^{\circ}$ к плоскости основания. Найти:

1) радиус основания;

2) высоту;

3) площадь основания цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника ($D$), его высота (которая равна высоте цилиндра, $h$) и его основание (которое равно диаметру основания цилиндра, $d$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является диагональ $D=48$ см, а катетами — высота $h$ и диаметр $d$. Угол между диагональю и плоскостью основания — это угол между гипотенузой $D$ и катетом $d$, он равен $60^\circ$.

1) радиус основания

В образовавшемся прямоугольном треугольнике диаметр основания $d$ является катетом, прилежащим к углу $60^\circ$. Найдем его, используя косинус этого угла:

$d = D \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$d = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$ см.

Радиус основания $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Ответ: $12$ см.

2) высоту

Высота цилиндра $h$ является катетом, противолежащим углу $60^\circ$. Найдем ее, используя синус этого угла:

$h = D \cdot \sin(60^\circ)$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$h = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ см.

Ответ: $24\sqrt{3}$ см.

3) площадь основания цилиндра

Основание цилиндра — это круг. Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус основания. Мы уже нашли, что $r = 12$ см.

$S = \pi \cdot (12)^2 = 144\pi$ см$^2$.

Ответ: $144\pi$ см$^2$.