Номер 3.58, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.58. Образующая конуса равна $\text{l}$, а высота - $\text{h}$. Какой угол составляет образующая с плоскостью основания конуса, если:

1) $l=24$ см, $h=12$ см;

2) $l=12$ см, $h=6\sqrt{3}$ см;

3) $h=15$ см, $l=5\sqrt{2}$ см?

Угол, который образующая конуса ($l$) составляет с плоскостью его основания, — это угол между самой образующей и радиусом основания ($r$), проведенным к точке касания образующей. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Высота конуса ($h$), радиус его основания ($r$) и образующая ($l$) формируют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике образующая $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и радиус $r$ — катетами. Угол $\alpha$ расположен между гипотенузой $l$ и катетом $r$. Следовательно, высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Для нахождения угла $\alpha$ можно использовать определение синуса в прямоугольном треугольнике: $ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{l} $

1) l=24 см, h=12 см

Подставим данные значения в формулу: $ \sin(\alpha) = \frac{h}{l} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} $

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, это $30^\circ$. $ \alpha = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ $

Ответ: $30^\circ$.

2) l=12 см, h=6√3 см

Подставим данные значения в формулу: $ \sin(\alpha) = \frac{h}{l} = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $60^\circ$. $ \alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ $

Ответ: $60^\circ$.

3) h=15 см, l=5√2 см

В любом прямоугольном треугольнике длина гипотенузы должна быть больше длины любого из катетов. В нашем случае $l \ge h$. Проверим это условие для заданных значений.

Сравним значения $l$ и $h$. Для удобства сравним их квадраты: $ l^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 $ $ h^2 = 15^2 = 225 $

Поскольку $50 < 225$, то $l^2 < h^2$, а значит $l < h$. Это противоречит свойству прямоугольного треугольника, где гипотенуза ($l$) не может быть короче катета ($h$).

Следовательно, конус с такими параметрами не может существовать.

Ответ: Конус с такими параметрами не существует.