Номер 3.63, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.63. Образующая конуса равна $\text{l}$ и она образует с плоскостью основания угол $\phi$. Найдите:

1) радиус основания;

2) высоту;

3) площадь осевого сечения;

4) площадь боковой поверхности конуса.

Пусть $l$ — образующая конуса, $r$ — радиус основания, $h$ — высота, а $φ$ — угол между образующей и плоскостью основания. Образующая, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ — гипотенуза, $h$ и $r$ — катеты, а $φ$ — угол между гипотенузой $l$ и катетом $r$.

1) радиус основания

В упомянутом прямоугольном треугольнике радиус $r$ является катетом, прилежащим к углу $φ$. По определению косинуса:

$\cos(φ) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{r}{l}$

Отсюда находим радиус:

$r = l \cos(φ)$

Ответ: $l \cos(φ)$

2) высоту

Высота $h$ является катетом, противолежащим углу $φ$. По определению синуса:

$\sin(φ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{l}$

Отсюда находим высоту:

$h = l \sin(φ)$

Ответ: $l \sin(φ)$

3) площадь осевого сечения

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру основания конуса ($2r$), и высотой $h$. Площадь этого треугольника $S_{сеч}$ равна:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = r \cdot h$

Подставим найденные значения $r$ и $h$:

$S_{сеч} = (l \cos(φ)) \cdot (l \sin(φ)) = l^2 \sin(φ) \cos(φ)$

Ответ: $l^2 \sin(φ) \cos(φ)$

4) площадь боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

Подставим в формулу выражение для радиуса $r$:

$S_{бок} = \pi \cdot (l \cos(φ)) \cdot l = \pi l^2 \cos(φ)$

Ответ: $\pi l^2 \cos(φ)$