Номер 3.59, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.59. Каков угол между образующей и плоскостью основания конуса, если осевое сечение конуса является прямоугольным треугольником?

Осевое сечение конуса — это сечение, проходящее через его ось. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются образующими конуса, а основание — диаметром основания конуса.

Пусть осевое сечение является треугольником $PAB$, где $P$ — вершина конуса, а $AB$ — диаметр основания. Тогда $PA$ и $PB$ — это образующие конуса, и по определению $PA = PB$.

По условию задачи, треугольник $PAB$ является прямоугольным. Так как он равнобедренный ($PA = PB$), прямой угол может быть только при вершине $P$, то есть $\angle APB = 90^\circ$. Если бы прямой угол был при основании (например, $\angle PAB = 90^\circ$), то и другой угол при основании был бы равен $90^\circ$, что невозможно в треугольнике.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике $PAB$ углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому каждый из углов при основании равен:

$\angle PAB = \angle PBA = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Угол между образующей и плоскостью основания — это по определению угол между самой образующей и её проекцией на эту плоскость.

Проекцией образующей $PA$ на плоскость основания является радиус $OA$, где $O$ — центр основания (и середина диаметра $AB$). Следовательно, искомый угол — это $\angle PAO$.

В треугольнике осевого сечения $PAB$ угол $\angle PAO$ совпадает с углом $\angle PAB$. Мы уже вычислили, что $\angle PAB = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.