Номер 3.65, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.65. Радиус основания конуса равен $\text{R}$. Найдите площадь сечения, параллельного основанию и делящего высоту в отношении $1:2$, начиная с вершины конуса.

Обозначим высоту исходного конуса как $H$, а радиус его основания как $R$. Сечение, параллельное основанию, является кругом и отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному.

Пусть $h_1$ — высота меньшего конуса (расстояние от вершины до плоскости сечения), а $r$ — радиус его основания (радиус сечения).

Согласно условию, секущая плоскость делит высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины. Это означает, что высота $H$ разделена на две части: $h_1$ (от вершины до сечения) и $h_2$ (от сечения до основания), причем $h_1 : h_2 = 1 : 2$.

Вся высота $H$ равна $h_1 + h_2$. Так как $h_2 = 2h_1$, то $H = h_1 + 2h_1 = 3h_1$.

Таким образом, отношение высоты малого конуса к высоте всего конуса составляет: $\frac{h_1}{H} = \frac{h_1}{3h_1} = \frac{1}{3}$.

Так как малый конус подобен большому, отношение их линейных размеров (включая радиусы оснований и высоты) одинаково. Коэффициент подобия $k$ равен отношению высот: $k = \frac{r}{R} = \frac{h_1}{H} = \frac{1}{3}$.

Из этого соотношения мы можем найти радиус сечения $r$: $\frac{r}{R} = \frac{1}{3} \implies r = \frac{R}{3}$.

Теперь найдем площадь сечения $S$, которая является площадью круга радиусом $r$: $S = \pi r^2$.

Подставим выражение для $r$: $S = \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \pi \frac{R^2}{9}$.

Ответ: $\frac{\pi R^2}{9}$.