Номер 3.71, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.71. Радиусы оснований усеченного конуса равны $\text{r}$ и $\text{R}$, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45. Найдите площадь его полной поверхности (рис. 3.37).

Рис. 3.37

Площадь полной поверхности усеченного конуса $S_{полн}$ вычисляется как сумма площадей боковой поверхности $S_{бок}$ и двух оснований (верхнего и нижнего): $S_{полн} = S_{бок} + S_{нижн} + S_{верхн}$.

Площадь нижнего основания с радиусом $R$ равна $S_{нижн} = \pi R^2$.

Площадь верхнего основания с радиусом $r$ равна $S_{верхн} = \pi r^2$.

Площадь боковой поверхности равна $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $l$ - длина образующей конуса.

Таким образом, формула для площади полной поверхности имеет вид: $S_{полн} = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi(R+r)l$.

Для нахождения площади нам необходимо выразить образующую $l$ через известные величины $R$ и $r$.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию. Проведем высоту из точки на окружности меньшего основания к плоскости большего основания. Получим прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза - это образующая $l$;
• один катет - это высота усеченного конуса $h$;
• второй катет - это разность радиусов оснований $R-r$.

Угол наклона образующей к плоскости основания - это угол между образующей $l$ и радиусом $R$, который по условию равен $45^\circ$. В нашем прямоугольном треугольнике это угол между гипотенузой $l$ и катетом $R-r$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\cos(45^\circ) = \frac{R-r}{l}$

Отсюда выражаем образующую $l$:

$l = \frac{R-r}{\cos(45^\circ)}$

Зная, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$l = \frac{R-r}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2(R-r)}{\sqrt{2}} = (R-r)\sqrt{2}$

Теперь подставим найденное выражение для $l$ в формулу площади полной поверхности:

$S_{полн} = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi(R+r)((R-r)\sqrt{2})$

Применим формулу разности квадратов $(R+r)(R-r) = R^2 - r^2$:

$S_{полн} = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi(R^2 - r^2)\sqrt{2}$

Вынесем общий множитель $\pi$ за скобки:

$S_{полн} = \pi (R^2 + r^2 + (R^2 - r^2)\sqrt{2})$

Ответ: $\pi(R^2 + r^2 + (R^2 - r^2)\sqrt{2})$.