Номер 3.77, страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.77. Найдите площадь полной поверхности тела, образованного вращением треугольника со сторонами 10, 17 и 21 вокруг его большего основания.

Тело, образованное вращением треугольника со сторонами 10, 17 и 21 вокруг его большей стороны (длиной 21), состоит из двух конусов, соединенных своими основаниями. Ось вращения является общей осью для этих конусов.

Площадь полной поверхности такого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов. Основания конусов находятся внутри тела и в площадь полной поверхности не входят.

Образующими конусов являются две другие стороны треугольника, то есть $l_1 = 10$ и $l_2 = 17$. Радиус $r$ общего основания конусов равен высоте треугольника, опущенной на сторону, вокруг которой происходит вращение (то есть на сторону длиной 21).

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$. Тогда искомая площадь полной поверхности тела $S$ равна:

$S = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2) = \pi r (10 + 17) = 27\pi r$

Чтобы найти радиус $r$, сначала вычислим площадь треугольника по формуле Герона. Найдем полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Теперь вычислим площадь треугольника $A$:

$A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3}$

Разложим числа на множители для удобства вычисления корня:

$A = \sqrt{(8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 49} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{49} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$

Площадь треугольника также можно выразить через основание (сторону длиной 21) и высоту $r$ (которую мы ищем):

$A = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot r$

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти $r$:

$84 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot r$

Умножим обе части на 2:

$168 = 21 \cdot r$

$r = \frac{168}{21} = 8$

Теперь, зная радиус $r=8$, мы можем вычислить площадь полной поверхности тела вращения:

$S = 27\pi r = 27\pi \cdot 8 = 216\pi$

Ответ: $216\pi$