Номер 3.82, страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.82. Площадь основания конуса равна $\text{m}$, а боковой поверхности – $\text{3m}$. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — длина его образующей.

Площадь основания конуса (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$. По условию задачи, эта площадь равна $m$: $S_{осн} = \pi R^2 = m$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$. По условию, эта площадь равна $3m$: $S_{бок} = \pi R L = 3m$.

Мы можем составить систему из двух уравнений: $m = \pi R^2$ $3m = \pi R L$

Подставим первое уравнение во второе, заменив $m$ на $\pi R^2$: $3(\pi R^2) = \pi R L$

Поскольку радиус $R$ и число $\pi$ не равны нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $\pi R$: $3R = L$

Угол между образующей и плоскостью основания — это угол $\alpha$ в прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$. В этом треугольнике $L$ является гипотенузой, а $R$ — катетом, прилежащим к углу $\alpha$.

Косинус этого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\alpha) = \frac{R}{L}$

Подставим найденное ранее соотношение $L = 3R$: $\cos(\alpha) = \frac{R}{3R} = \frac{1}{3}$

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен арккосинусу $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\arccos{\frac{1}{3}}$