Номер 3.81, страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.81. Развертка боковой поверхности конуса составляет четверть круга. Площадь осевого сечения равна $\text{Q}$. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, $l$ — его образующая, а $H$ — высота.

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга, радиус которого равен образующей конуса $l$, а длина дуги равна длине окружности основания конуса $2\pi R$.

По условию, развертка составляет четверть круга. Это означает, что длина дуги сектора равна четверти длины окружности с радиусом $l$.

Длина дуги сектора: $L_{дуги} = \frac{1}{4} \cdot 2\pi l = \frac{\pi l}{2}$.

Приравняем это выражение к длине окружности основания конуса: $2\pi R = \frac{\pi l}{2}$

Из этого равенства находим соотношение между образующей и радиусом: $4\pi R = \pi l$ $l = 4R$.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса $2R$, а высота — высоте конуса $H$. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ равна: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$.

По условию задачи, эта площадь равна $Q$: $RH = Q$.

Образующая, радиус и высота конуса связаны теоремой Пифагора: $l^2 = R^2 + H^2$.

Подставим в это уравнение соотношение $l = 4R$: $(4R)^2 = R^2 + H^2$ $16R^2 = R^2 + H^2$ $H^2 = 15R^2$ $H = R\sqrt{15}$.

Теперь мы можем выразить $R$ через $Q$. Подставим $H = R\sqrt{15}$ в формулу площади осевого сечения $RH = Q$: $R \cdot (R\sqrt{15}) = Q$ $R^2\sqrt{15} = Q$ $R^2 = \frac{Q}{\sqrt{15}}$.

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi Rl$.

Используя соотношение $l=4R$, получим: $S_{полн} = \pi R^2 + \pi R(4R) = \pi R^2 + 4\pi R^2 = 5\pi R^2$.

Подставим в эту формулу найденное ранее выражение для $R^2$: $S_{полн} = 5\pi \left(\frac{Q}{\sqrt{15}}\right) = \frac{5\pi Q}{\sqrt{15}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$: $S_{полн} = \frac{5\pi Q \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{5\pi Q\sqrt{15}}{15} = \frac{\pi Q\sqrt{15}}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi Q\sqrt{15}}{3}$.