Номер 3.74, страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.74. Радиусы оснований и образующая усеченного конуса относятся как 1:4:5, а высота равна $\text{h}$. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.

Обозначим радиус меньшего основания усеченного конуса как $r$, радиус большего основания как $R$, а образующую как $l$. Высота конуса дана и равна $h$.

Согласно условию задачи, радиусы оснований и образующая относятся как 1:4:5. Это означает, что если мы обозначим радиус меньшего основания $r$, то радиус большего основания $R$ и образующая $l$ будут пропорциональны ему. Запишем это соотношение: $r : R : l = 1 : 4 : 5$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда мы можем выразить $r$, $R$ и $l$ через этот коэффициент: $r = x$ $R = 4x$ $l = 5x$

В усеченном конусе высота $h$, образующая $l$ и радиусы оснований $R$ и $r$ связаны соотношением, которое можно получить из осевого сечения конуса (равнобедренной трапеции). Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, катетами которого являются высота $h$ и разность радиусов $(R-r)$, а гипотенузой — образующая $l$, получим: $l^2 = h^2 + (R-r)^2$.

Подставим в это уравнение выражения для $r$, $R$ и $l$ через $x$: $(5x)^2 = h^2 + (4x - x)^2$ $25x^2 = h^2 + (3x)^2$ $25x^2 = h^2 + 9x^2$

Теперь решим это уравнение относительно $x$, чтобы выразить его через известную высоту $h$: $25x^2 - 9x^2 = h^2$ $16x^2 = h^2$ $x^2 = \frac{h^2}{16}$ Поскольку $x$ — это мера длины (радиус $r$), он должен быть положительным. Следовательно: $x = \sqrt{\frac{h^2}{16}} = \frac{h}{4}$.

Зная $x$, мы можем найти значения радиусов и образующей через $h$: $r = x = \frac{h}{4}$ $R = 4x = 4 \cdot \frac{h}{4} = h$ $l = 5x = 5 \cdot \frac{h}{4} = \frac{5h}{4}$

Площадь боковой поверхности усеченного конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (r+R)l$.

Подставим в эту формулу найденные выражения для $r$, $R$ и $l$: $S_{бок} = \pi \left(\frac{h}{4} + h\right) \cdot \frac{5h}{4}$ $S_{бок} = \pi \left(\frac{h+4h}{4}\right) \cdot \frac{5h}{4}$ $S_{бок} = \pi \left(\frac{5h}{4}\right) \cdot \frac{5h}{4}$ $S_{бок} = \pi \frac{25h^2}{16}$.

Ответ: $\frac{25\pi h^2}{16}$