Номер 3.73, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.73. Одна из граней куба вписана в малое основание усеченного конуса, а противоположное основание лежит внутри большего основания. Найдите ребро куба, если радиусы оснований усеченного конуса равны $\text{r}$ и $\text{R}$ (рис. 3.38).

Рис. 3.38

Дано: куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ вписан в усеченный конус. $A_1 O_1 = r$, $NO = R$.

Найти$\text{AB}$.

Решение.

В этой задаче ребро куба не зависит от радиуса большего основания $\text{R}$. А радиус $\text{r}$ равен половине диагонали грани куба (диагонали квадрата), поэтому $AB = \sqrt{2} r$.

Пусть ребро куба равно $a$. Согласно условию, одна из граней куба, например, $A_1B_1C_1D_1$, представляет собой квадрат со стороной $a$ и вписана в малое основание усеченного конуса. Это основание является кругом с радиусом $r$.

Когда квадрат вписан в круг, его диагональ равна диаметру этого круга.

Найдем диагональ $d$ грани куба. Так как грань является квадратом со стороной $a$, по теореме Пифагора ее диагональ равна: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Диаметр малого основания конуса, в который вписан квадрат, равен $2r$.

Приравниваем длину диагонали квадрата к диаметру круга: $a\sqrt{2} = 2r$.

Из этого равенства выразим ребро куба $a$: $a = \frac{2r}{\sqrt{2}}$.

Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$: $a = \frac{2r \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2r\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}$.

Условие, что противоположная грань куба лежит внутри большего основания радиуса $R$, является условием существования такой конфигурации, но не влияет на вычисление длины ребра куба, которое однозначно определяется радиусом $r$ малого основания.

Ответ: $r\sqrt{2}$.