Номер 3.67, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.67. Образующая конуса равна $\text{l}$, а радиус $- r$. Найдите площадь сечения конуса, проходящего через его вершину и хорду основания, опирающуюся на дугу, равную:

1) $30^\circ$;

2) $45^\circ$;

3) $60^\circ$;

4) $90^\circ$.

Сечение конуса, проходящее через его вершину и хорду основания, представляет собой равнобедренный треугольник. Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $l$, а основание — хорде $a$. Площадь сечения $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} a h$, где $h$ - высота треугольника-сечения. Длина хорды $a$, стягивающей дугу с центральным углом $\beta$ в круге радиуса $r$, вычисляется по формуле $a = 2r \sin(\frac{\beta}{2})$. Высота сечения $h$ находится по теореме Пифагора: $h = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{l^2 - r^2 \sin^2(\frac{\beta}{2})}$. Таким образом, итоговая формула для площади сечения: $S = r \sin(\frac{\beta}{2}) \sqrt{l^2 - r^2 \sin^2(\frac{\beta}{2})}$.

1) 30°

Для дуги в $30^\circ$, центральный угол $\beta = 30^\circ$, следовательно $\frac{\beta}{2} = 15^\circ$. Значение синуса $15^\circ$ равно $\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, а его квадрат $\sin^2(15^\circ) = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$. Подставляем эти значения в общую формулу для площади: $S_1 = r \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \cdot \sqrt{l^2 - r^2 \frac{2-\sqrt{3}}{4}}$.

Ответ: $\frac{r(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} \sqrt{l^2 - \frac{r^2(2-\sqrt{3})}{4}}$.

2) 45°

Для дуги в $45^\circ$, центральный угол $\beta = 45^\circ$, следовательно $\frac{\beta}{2} = 22.5^\circ$. Значение синуса $22.5^\circ$ равно $\sin(22.5^\circ) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$, а его квадрат $\sin^2(22.5^\circ) = \frac{2-\sqrt{2}}{4}$. Подставляем эти значения в общую формулу для площади: $S_2 = r \cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \cdot \sqrt{l^2 - r^2 \frac{2-\sqrt{2}}{4}}$.

Ответ: $\frac{r\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \sqrt{l^2 - \frac{r^2(2-\sqrt{2})}{4}}$.

3) 60°

Для дуги в $60^\circ$, центральный угол $\beta = 60^\circ$, следовательно $\frac{\beta}{2} = 30^\circ$. Используем значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставляем в общую формулу для площади: $S_3 = r \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{l^2 - r^2 (\frac{1}{2})^2} = \frac{r}{2} \sqrt{l^2 - \frac{r^2}{4}} = \frac{r}{2} \sqrt{\frac{4l^2-r^2}{4}} = \frac{r}{2} \frac{\sqrt{4l^2-r^2}}{2} = \frac{r\sqrt{4l^2-r^2}}{4}$.

Ответ: $\frac{r\sqrt{4l^2-r^2}}{4}$.

4) 90°

Для дуги в $90^\circ$, центральный угол $\beta = 90^\circ$, следовательно $\frac{\beta}{2} = 45^\circ$. Используем значение $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставляем в общую формулу для площади: $S_4 = r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{l^2 - r^2 (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{r\sqrt{2}}{2} \sqrt{l^2 - \frac{r^2}{2}} = \frac{r\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{2l^2-r^2}{2}} = \frac{r\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2l^2-r^2}}{\sqrt{2}} = \frac{r\sqrt{2l^2-r^2}}{2}$.

Ответ: $\frac{r\sqrt{2l^2-r^2}}{2}$.